私家侦探查出来老公和小三生孩子的出生证明，在符合一定条件下可以作为法庭证据，但需谨慎对待其合法性和证明力问题。以下从多个角度为你详细分析：
一、证据的合法性
取证手段的合法性：
- 根据我国法律规定，证据的收集必须合法，不得侵犯他人的合法权益，如隐私权、住宅权等。私家侦探在取证过程中，如果采用了非法手段，如非法侵入他人住宅、窃听、偷拍等，那么所取得的证据可能被视为非法证据，被法院排除在外。
- 对于出生证明这一证据，如果私家侦探是通过合法途径，如从医院、户籍管理部门等正规渠道获取，且没有侵犯他人的合法权益，那么该证据在合法性上通常没有问题。
证据形式的合法性：
- 出生证明作为书证，其形式必须符合法律规定。一般来说，正规的出生证明由医院出具，并加盖公章，具有法律效力。如果私家侦探提供的出生证明是伪造或变造的，那么该证据显然不具有合法性。
二、证据的证明力
证据的真实性：
- 出生证明作为证明孩子出生的直接证据，其真实性至关重要。如果私家侦探提供的出生证明是真实的，且能够与其他证据相互印证，如孩子的照片、视频、亲子鉴定报告等，那么该证据的证明力将大大增强。
- 然而，如果出生证明存在瑕疵或疑问，如信息不完整、印章模糊等，那么其证明力可能会受到质疑。
证据的关联性：
- 出生证明需要与案件事实具有关联性。在你所描述的情况下，出生证明需要能够证明你老公与小三之间存在不正当关系，并且孩子是他们所生。如果出生证明上的信息无法直接或间接证明这一点，那么该证据的关联性将受到质疑。
三、法庭对证据的采纳标准
合法性审查：
- 法院在审理案件时，首先会对证据的合法性进行审查。如果证据是通过非法手段取得的，或者证据形式不合法，那么法院将不予采纳。
真实性、关联性审查：
- 在确认证据合法性的基础上，法院还会对证据的真实性和关联性进行审查。如果证据真实可靠且与案件事实具有关联性，那么法院将予以采纳并作为定案的依据。
四、建议与注意事项
谨慎对待私家侦探的取证：
- 由于私家侦探的取证手段可能存在合法性风险，因此建议你谨慎对待其提供的证据。在可能的情况下，尽量通过合法途径获取证据，如委托律师进行调查取证。
结合其他证据使用：
- 出生证明作为单一证据，其证明力可能有限。因此，建议你结合其他证据一起使用，如聊天记录、转账记录、亲子鉴定报告等，以形成完整的证据链。
咨询专业律师：
- 在处理此类敏感且复杂的法律问题时，建议你咨询专业律师的意见。律师可以根据你的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。不过，你目前就可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律支持。
综上所述，私家侦探查出来老公和小三生孩子的出生证明在符合一定条件下可以作为法庭证据，但需谨慎对待其合法性和证明力问题。在处理此类问题时，建议你咨询专业律师并谨慎取证。