核心结论：公司若未与员工签订劳动合同且未缴纳工伤保险，员工受伤后走劳动仲裁，公司可能面临支付双倍工资、承担工伤赔偿、行政处罚以及声誉受损等多方面的不利影响。以下为详细分析：

1. 支付双倍工资的风险 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，若公司未与员工签订劳动合同，在劳动仲裁中，公司很可能被裁决向员工支付双倍工资，这无疑会增加公司的经济负担。

2. 承担工伤赔偿的责任 尽管公司未为员工缴纳工伤保险，但根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。公司未缴纳工伤保险，并不意味着可以免除对员工的工伤赔偿责任。相反，公司需要按照工伤保险待遇的项目和标准，自行承担员工的工伤赔偿费用，包括医疗费、护理费、伤残补助金等。

3. 面临行政处罚的可能性 公司未与员工签订劳动合同且未缴纳工伤保险，还可能面临劳动行政部门的处罚。根据《劳动保障监察条例》的规定，劳动行政部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并可以责令其改正，甚至处以罚款。这将对公司的正常运营和声誉造成不良影响。

4. 声誉受损与员工关系紧张 除了上述经济和法律上的不利影响外，公司还可能因未签订劳动合同和未缴纳工伤保险而声誉受损。员工和潜在员工可能对公司的合规性和责任感产生质疑，从而影响公司的招聘和人才保留。同时，与受伤员工的劳动仲裁也可能引发其他员工的不满和不安，进一步加剧员工关系的紧张。

建议：为了避免上述不利影响，公司应当严格遵守相关法律法规，及时与员工签订劳动合同，并为其缴纳工伤保险。若已发生员工受伤的情况，公司应积极与员工协商解决，尽量达成和解协议，以减轻劳动仲裁对公司的不利影响。若您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。