关于未成年在私人医院进行打胎手术是否需要家属签字的问题，这确实是一个涉及法律和医疗伦理的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，未成年女性（即未满18周岁的女性）在进行人工流产手术时，通常是需要家属或直系亲属的签字同意的。这是因为未成年人在法律上被视为无完全民事行为能力人，她们在做出涉及自身健康和安全的重大决策时，需要得到监护人的指导和同意。
在私人医院进行手术，这一原则同样适用。无论医院是公立还是私立，都应当遵循相关的法律法规和医疗伦理规范，确保患者的权益和安全。因此，如果未成年女性希望在私人医院进行打胎手术，她必须获得家属或直系亲属的签字同意。
此外，我还想强调几点：
选择正规医院：尽管您询问的是私人医院，但我还是要建议，无论选择哪种类型的医院，都应当确保它是正规、有资质的医疗机构。正规医院能够提供更安全、更专业的医疗服务，降低手术风险。
术后护理和恢复：打胎手术对身体有一定的伤害，术后需要充分的休息和护理。未成年女性在术后应当遵循医生的指导，注意休息、饮食和个人卫生，以促进身体的恢复。
心理支持：打胎手术不仅对身体有影响，还可能对心理造成一定的冲击。未成年女性在术后可能需要心理支持或咨询，以帮助她们应对可能出现的情绪问题。
综上所述，未成年女性在私人医院进行打胎手术时，是需要家属或直系亲属的签字同意的。同时，我也建议您选择正规医院进行手术，并重视术后的护理和恢复以及心理支持。希望这些信息能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。