债权人确实可以在特定情况下申请法院对股东未实缴出资开展调查，并进一步要求股东对公司不能清偿的债务承担补充赔偿责任。以下是对这一问题的详细解答：
一、可以申请调查及起诉的情形
公司不能清偿到期债务：
- 当公司无法偿还到期债务，且存在股东未实缴出资的情况时，债权人的利益将直接受到损害。此时，债权人有权依据相关法律规定，申请法院对股东的出资情况进行调查，并要求未实缴出资的股东在未出资范围内对公司债务承担补充赔偿责任。
- 法律依据：根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国公司法〉若干问题的规定（三）》第十三条第二款，公司债权人可请求未履行或未全面履行出资义务的股东，在未出资本息范围内对公司债务不能清偿的部分承担补充赔偿责任。
股东出资期限加速到期的特殊情形：
- 尽管股东出资期限通常由公司章程规定，但在某些特殊情况下，如公司作为被执行人且无财产可供执行、已具备破产原因但不申请破产，或公司债务产生后延长股东出资期限等，债权人可以主张未实缴出资股东的出资期限加速到期，并要求其立即承担责任。
- 法律依据：依据《全国法院民商事审判工作会议纪要》（九民纪要）第6条，虽然股东依法享有期限利益，但在上述特殊情形下，债权人可要求未届出资期限的股东承担相应责任。
二、申请调查及起诉的限制与注意事项
先对公司进行债务追讨：
- 债权人在申请对股东未实缴出资进行调查并起诉前，应先通过诉讼或其他合法途径向公司主张债权，并确认公司确实无法清偿债务。这是为了尊重公司的独立法人地位和股东的有限责任原则，确保只有在公司财产不足以清偿债务的情况下，才要求未实缴出资的股东承担责任。
举证责任：
- 债权人需要承担举证责任，证明股东存在未实缴出资的事实，以及这种未实缴出资与公司偿债能力不足之间的直接因果关系。这可能需要收集公司章程中的出资约定、验资报告、出资凭证等证据。如果证据不足，债权人的诉讼请求可能会被驳回。
法律程序与咨询：
- 在处理这类问题时，债权人应咨询专业的法律顾问或律师，以确保自己的权益得到充分保护。法律顾问或律师可以提供专业的法律意见，帮助债权人制定合理的诉讼策略，并遵循合理的法律框架和程序来解决问题。
三、建议与总结
- 建议：债权人在遇到股东未实缴出资导致公司无法清偿债务的情况时，应首先收集相关证据，证明股东未实缴出资的事实以及与公司偿债能力不足之间的因果关系。然后，咨询专业的法律顾问或律师，了解具体的法律程序和诉讼策略。最后，根据法律顾问或律师的建议，向法院申请对股东未实缴出资进行调查，并提起诉讼要求股东承担补充赔偿责任。
- 总结：债权人在特定情况下可以申请法院对股东未实缴出资开展调查，并要求股东对公司不能清偿的债务承担补充赔偿责任。但这一权利的行使需遵循严格的法律程序和条件，包括先对公司进行债务追讨、承担举证责任以及咨询专业法律顾问或律师等。