结论前置：买空调给了定金但没给发票，能否退款需分情况讨论，主要取决于定金性质、合同约定及商家是否存在违约行为等因素。以下为具体分析：

1. 定金性质与合同约定
   根据《民法典》第五百八十六条，定金具有担保性质，若支付方（消费者）违约，定金可能不予退还；若收受方（商家）违约，则需双倍返还定金。

   • 若合同明确约定“定金不退”且消费者无合理理由要求退款（如单纯反悔），商家有权拒绝退款；
     
   • 若合同未明确约定或约定模糊，消费者可主张定金条款无效，要求全额退款；
     
   • 若商家存在欺诈、虚假宣传等违约行为（如空调质量与宣传不符），消费者可依据《消费者权益保护法》第五十五条要求解除合同并退款，甚至主张三倍赔偿。

2. 发票与退款的关系
   发票是交易凭证，但未开具发票本身不直接导致定金可退。不过：

   • 若商家因未开发票被税务部门处罚，或消费者以商家未履行法定义务（如《发票管理办法》第十九条）为由主张解除合同，可能增加退款成功率；
     
   • 若商家同时存在其他违约行为（如未按时交货、商品瑕疵），未开发票可作为辅助证据，强化消费者主张退款的合理性。

3. 操作建议

   • 协商解决：优先与商家沟通，明确退款理由（如合同条款、商家违约等），要求书面回复；
     
   • 投诉举报：若商家拒绝退款，可向12315平台或当地市场监管部门投诉，提供定金收据、聊天记录等证据；
     
   • 法律途径：若争议较大，可向法院起诉，主张解除合同、返还定金及赔偿损失（如诉讼费、律师费等合理支出）。

提示：实际处理中需结合具体证据（如合同、付款记录、沟通记录等）综合判断。若您遇到类似问题，可直接向我提供细节，我会进一步分析并给出针对性建议。