当行政机关对非诉审查案件的裁定结果不服时，可以采取以下几种救济途径来维护自身权益：

一、向上级人民法院申请复议

法律依据与适用情形： 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国行政诉讼法〉的解释》第一百六十一条，行政机关在收到非诉行政执行裁定书后，若对裁定结果存在异议，认为裁定存在错误或程序违法等情形，可以在法定期限内（通常为15日）向作出裁定的人民法院的上一级人民法院申请复议。

操作要点：

• 提交材料：行政机关需准备复议申请书及相关证据材料，以支持其复议请求。
• 期限要求：务必在法定期限内提出申请，逾期可能丧失复议权利。
• 审查重点：上级法院将重点审查原裁定的合法性及合理性，以决定是否撤销或变更原裁定。

二、针对原行政行为提起行政诉讼

法律依据与适用情形： 若行政机关对非诉行政执行裁定所依据的原行政行为本身存在异议，认为原行政行为违法或不当，可依据《行政诉讼法》第四十六条的规定，在原行政行为作出后的六个月内（特殊情况除外）直接向有管辖权的人民法院提起诉讼。

操作要点：

• 起诉对象：行政机关应以作出原行政行为的自身为被告（在行政诉讼中，行政机关作为被告是常见情形，此处表述为“以自身为被告”是为了明确诉讼地位，实际操作中即直接起诉原行政行为）。
• 管辖规则：遵循“原告就被告”原则，由最初作出行政行为的行政机关所在地法院管辖。
• 诉讼效果：若原行政行为被撤销或确认违法，其作为执行依据的效力将被否定，从而间接影响非诉行政执行裁定的效力。

三、针对执行行为提出书面异议

法律依据与适用情形： 根据《最高人民法院关于人民法院办理执行异议和复议案件若干问题的规定》，行政机关或利害关系人（在此情境下，行政机关可视为对执行行为有直接利害关系的主体）认为执行过程中存在违法行为或损害其合法权益时，可向负责执行的法院提出书面异议。例如，执行标的错误、执行措施不当等情形均可通过此途径主张权利。

操作要点：

• 异议内容：行政机关需明确指出执行行为的具体违法点，并提供相关证据支持。
• 处理流程：法院应在收到异议后十五日内进行审查，理由成立的应裁定撤销或改正；不成立的则驳回。
• 后续救济：若行政机关对驳回裁定不服，可在十日内向上一级法院申请复议。

四、申请国家赔偿（特定情形下）

法律依据与适用情形： 若因错误的非诉行政执行导致行政机关（或更广泛地说，是行政机关所代表的公共利益或特定相对人的财产权益）受损，且符合《国家赔偿法》第四条规定的情形（如违法实施罚款、吊销许可证等，虽该条款直接针对公民、法人和其他组织，但行政机关在代表公共利益执行时若因错误执行受损，亦可类比适用或通过其他途径寻求救济，此处重点在于说明国家赔偿的适用逻辑），在特定情况下，行政机关（或受损方）有权申请国家赔偿。需注意的是，该途径通常适用于执行行为已被确认违法的情形。

操作要点：

• 前提条件：必须取得确认执行行为违法的生效法律文书，作为申请国家赔偿的依据。
• 赔偿范围：包括直接损失及部分间接损失，具体范围需根据《国家赔偿法》及相关司法解释确定。
• 程序启动：向作出错误执行行为的机关或其上级机关提出赔偿请求，并按照法定程序进行。

综上所述，行政机关在面对非诉审查案件的裁定结果不服时，可以根据具体情况选择合适的救济途径来维护自身权益。