核心结论：当劳动合同第二次到期，若公司选择不续签或降低劳动条件导致劳动者不愿续签，且不存在劳动者严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应向劳动者支付经济补偿金。若公司无正当理由拒绝续签，还可能面临支付赔偿金的风险。
详细分析：
经济补偿金的支付条件与标准：
- 支付条件：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止的，用人单位应向劳动者支付经济补偿。这意味着，如果公司不续签或降低条件续订导致劳动者不愿续签，公司需支付经济补偿。
- 支付标准：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
赔偿金的支付条件与标准：
- 支付条件：若公司无正当理由拒绝续签劳动合同，如未提前通知、未说明理由或理由不成立等，可能构成违法终止劳动合同，此时劳动者有权要求公司支付赔偿金。
- 支付标准：赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。即，每满一年支付两个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付一个月工资的赔偿。
特定情形下的免责：
- 如果劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致公司决定不续签劳动合同的，公司无需支付经济补偿或赔偿金。
无固定期限劳动合同的订立与责任：
- 在连续订立二次固定期限劳动合同后，且劳动者没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，若劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。若公司违反此规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向劳动者每月支付二倍的工资。
维权建议：
- 沟通协商：劳动者在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和理由，并表达自己的诉求。
- 保留证据：为确保维权成功，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录、公司通知等，以证明自己的工作年限、工资水平和公司的行为。
- 寻求帮助：若双方无法达成一致，劳动者可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。在申请仲裁或提起诉讼时，应提交充分的证据和理由，以支持自己的诉求。
示例计算：
- 假设劳动者在公司工作了5年，劳动合同终止前十二个月的平均工资为10000元，且不存在特定免责情形。若公司选择不续签劳动合同，则公司应向劳动者支付的经济补偿金为：5年 × 10000元/年 = 50000元。若公司无正当理由拒绝续签，则还需支付赔偿金：50000元 × 2 = 100000元。
综上所述，劳动合同第二次到期不续签时的经济补偿与赔偿问题涉及多个法律知识点。劳动者和公司在处理此类问题时，应充分了解相关法律法规，以确保自身权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。