分手后一方持续辱骂，可采取以下措施进行处理：

1. 明确法律定性：持续辱骂行为可能构成对他人名誉权的侵害，根据《民法典》相关规定，民事主体享有名誉权，任何组织或个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人名誉权。若辱骂行为情节严重，还可能触犯《治安管理处罚法》，面临行政处罚，甚至构成侮辱罪，需承担刑事责任。

2. 收集证据：面对持续辱骂，首要任务是收集并保存相关证据。证据形式包括但不限于：辱骂的聊天记录、录音、视频、短信、邮件等。这些证据将作为后续维权的重要依据，务必确保其真实性和完整性。

3. 尝试沟通解决：在收集证据的同时，可尝试与对方进行沟通，明确表达对其辱骂行为的不满，并要求其停止侵害。沟通方式可以是直接对话、书面函件或通过第三方调解。若对方愿意改正，可达成和解协议，避免矛盾进一步升级。

4. 寻求法律救济：若沟通无果，或对方拒绝停止辱骂行为，可考虑通过法律途径维护自身权益。具体方式包括：

   • 提起民事诉讼：向法院提起名誉权侵权诉讼，要求对方停止侵害、赔礼道歉、消除影响，并赔偿因此造成的损失。
   • 报警处理：若辱骂行为情节严重，构成治安违法或刑事犯罪，可向公安机关报案，要求依法处理。公安机关将根据具体情况，对违法行为人进行行政处罚或追究刑事责任。

5. 申请保护措施：在诉讼或报警过程中，若担心自身安全受到威胁，可向法院或公安机关申请保护措施，如人身安全保护令、禁止令等，以确保自身安全不受侵害。