在夫妻双方一方死亡的情况下，爷爷奶奶作为死者的父母，主要享有继承权，具体权利及行使方式如下：
一、继承权的基本情况
法定继承顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。因此，在夫妻一方死亡时，其父母（即爷爷奶奶）作为第一顺序继承人，有权继承遗产。
继承份额的确定：
- 同一顺序继承人继承遗产的份额，一般应当均等。但继承人协商同意的，也可以不均等。此外，对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应当予以照顾。对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，分配遗产时，可以多分。有扶养能力和有扶养条件的继承人，不尽扶养义务的，分配遗产时，应当不分或者少分。
二、爷爷奶奶行使继承权的方式
协商继承：
- 爷爷奶奶可以与其他第一顺序继承人（如配偶、子女）协商，就遗产的分配达成一致意见，并签订书面协议。这种方式相对简便，能够减少家庭矛盾。
诉讼继承：
- 如果协商不成，爷爷奶奶可以向人民法院提起诉讼，请求法院依法判决遗产的分配。在诉讼过程中，需要提供相关证据证明自己的继承权及应得的份额。
三、特殊情况下的继承权
代位继承：
- 如果爷爷奶奶先于被继承人死亡，或者丧失继承权，那么他们的子女（即被继承人的兄弟姐妹）在符合一定条件下可以代位继承。但这种情况不直接涉及爷爷奶奶的权利，而是其子女的权利。不过，在理解爷爷奶奶的继承权时，可以对此有所了解。
遗嘱继承与遗赠扶养协议：
- 如果被继承人生前立有遗嘱或遗赠扶养协议，且遗嘱或协议中指定了遗产的分配方式，那么应当按照遗嘱或协议的内容执行。在这种情况下，爷爷奶奶的继承权可能受到限制或排除，具体取决于遗嘱或协议的内容。但如果没有遗嘱或协议，或者遗嘱或协议无效，则按照法定继承处理。
四、建议与注意事项
及时行使权利：
- 爷爷奶奶在得知子女死亡后，应及时了解遗产情况，并与其他继承人协商或准备诉讼材料，以便及时行使继承权。
保留证据：
- 在协商或诉讼过程中，爷爷奶奶需要提供相关证据证明自己的身份、与被继承人的关系以及应得的继承份额。因此，建议保留好相关证件和文件，如身份证、户口本、亲属关系证明等。
寻求专业帮助：
- 如果对继承权行使过程中遇到的问题感到困惑或无法解决，建议寻求专业律师的帮助。律师可以提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助爷爷奶奶更好地维护自己的合法权益。
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