结论：商家盗用客户的兑换品，客户通常有权索赔，但具体能否索赔及索赔的依据和方式需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、法律关系分析
合同关系：
- 若客户与商家之间存在明确的兑换合同或协议，且商家未经客户同意盗用兑换品，则商家构成违约。根据《中华人民共和国民法典》中关于合同违约的规定，客户有权要求商家承担违约责任，包括赔偿损失等。
侵权关系：
- 即使客户与商家之间没有明确的合同关系，商家盗用客户兑换品的行为也可能构成侵权。根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，客户有权要求商家停止侵害、恢复原状、赔偿损失等。
二、索赔依据及方式
索赔依据：
- 客户需提供证据证明商家存在盗用兑换品的行为，如兑换记录、监控录像、证人证言等。
- 客户还需证明因商家盗用行为导致的实际损失，如兑换品的价值、因无法兑换而产生的其他费用等。
索赔方式：
- 协商：客户可以与商家进行协商，要求商家赔偿损失或采取其他补救措施。
- 投诉：若协商无果，客户可以向相关消费者权益保护机构或市场监管部门投诉，寻求行政调解或行政处罚。
- 诉讼：若投诉仍无法解决问题，客户可以向人民法院提起诉讼，要求商家承担民事责任。
三、特殊情况考虑
兑换品性质：
- 若兑换品具有特殊性质，如限量版、纪念版等，其价值可能难以用金钱衡量。在此情况下，客户可以要求商家按照兑换品的实际价值或市场价值进行赔偿，或者要求商家提供等值的替代品。
商家主观恶意：
- 若商家存在故意盗用客户兑换品的行为，且情节严重，客户还可以考虑要求商家承担惩罚性赔偿责任，以维护自身合法权益。
四、建议与提醒
- 保留证据：客户在发现商家盗用兑换品后，应尽快收集并保留相关证据，以便后续维权。
- 及时维权：客户应在发现商家盗用行为后尽快采取行动，避免因时间拖延而导致证据灭失或维权难度增加。
- 咨询专业律师：若客户在维权过程中遇到法律难题或需要法律帮助，可以直接向我咨询，我将根据具体情况为客户提供专业的法律意见和解决方案。
综上所述，商家盗用客户兑换品的行为可能构成违约或侵权，客户有权根据实际情况选择合适的索赔方式维护自身合法权益。