结论：市场监督部门有权对触犯广告法的网店进行调查，这是其依法履行职责的一部分。

详细分析：

1. 市场监督部门的职责与权限：

   • 市场监督管理部门（如市场监督管理局）是负责市场监管和行政执法的政府机构，其职责包括监督市场主体的经营行为，确保市场秩序的公平、公正和透明。
   • 当网店涉嫌触犯广告法时，市场监督部门有权依法进行调查，以查明事实真相，并根据调查结果采取相应的法律措施。

2. 广告法的相关规定：

   • 广告法明确规定了广告内容的真实性、合法性要求，禁止虚假宣传、误导消费者等行为。
   • 网店作为广告发布者，有义务确保所发布的广告内容符合广告法的规定。若网店发布的广告内容违反广告法，市场监督部门有权依法进行查处。

3. 市场监督部门调查网店的合法性：

   • 市场监督部门在调查网店时，会遵循法定程序，如出示执法证件、说明调查理由、制作调查笔录等。
   • 网店应积极配合市场监督部门的调查，提供必要的资料和信息，如实回答询问，不得阻挠或拒绝调查。

4. 网店应对市场监督部门调查的建议：

   • 保持冷静：面对市场监督部门的调查，网店应保持冷静，不要惊慌失措或采取过激行为。
   • 积极配合：按照市场监督部门的要求，及时提供相关资料和信息，如实回答询问，配合现场检查等。
   • 自查自纠：在配合调查的同时，网店应进行自查自纠，检查是否存在违法行为或不当经营行为，并立即停止相关行为，制定整改措施加以落实。
   • 寻求法律支持：若网店对市场监督部门的调查程序或结果有异议，或需要法律方面的帮助和建议，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。

5. 可能的法律后果：

   • 若网店确实存在触犯广告法的行为，市场监督部门可能会依法进行处罚，如罚款、没收违法所得、责令停止发布广告等。
   • 网店应严格遵守相关法律法规和市场规定，确保经营活动的合法合规，以避免不必要的法律风险和损失。

总结：市场监督部门对触犯广告法的网店进行调查是合法且必要的，网店应积极配合调查，自查自纠，并寻求必要的法律支持。若网店在广告发布过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。