结论：先行登记保存期限已到、案件未办结时当事人擅自处理相关物品，属于违法行为，行政机关可依法追究其法律责任，具体可从行政处罚、证据效力影响、民事赔偿等角度分析处理方式。以下为详细说明：
行政处罚角度 根据《中华人民共和国行政处罚法》第五十六条，行政机关在收集证据时，可以采取抽样取证的方法；在证据可能灭失或者以后难以取得的情况下，经行政机关负责人批准，可以先行登记保存，并应当在七日内及时作出处理决定，在此期间，当事人或者有关人员不得销毁或者转移证据。 若当事人在先行登记保存期限已到、案件未办结时擅自处理相关物品，行政机关可依据该法及相关配套法规（如《治安管理处罚法》中关于阻碍执法、伪造隐匿证据等条款，若当事人行为符合相关情形），视情节轻重对当事人处以警告、罚款等行政处罚。例如，若当事人转移、隐匿证据情节严重，可能面临较高数额罚款。
证据效力影响角度 当事人擅自处理先行登记保存物品，可能导致关键证据灭失，影响案件事实认定。行政机关在后续案件办理中，若因当事人行为无法获取充分证据证明违法事实，可依据《行政诉讼法》及相关司法解释，在行政诉讼中承担不利后果（若案件进入诉讼程序）。同时，行政机关可在行政程序中，根据《行政处罚法》等相关规定，因当事人妨碍执法、导致证据无法查清等原因，依据现有能证明违法事实的间接证据等，结合合理推断，对当事人作出不利认定及相应处理，但需确保处理决定符合行政合法性、合理性原则。
民事赔偿角度 若当事人擅自处理先行登记保存物品行为，给行政机关造成直接经济损失（如物品本身价值、因证据灭失导致行政机关为重新取证产生的合理费用等），行政机关可依据《民法典》中侵权责任相关规定，要求当事人承担民事赔偿责任。行政机关需收集相关证据（如物品价值评估报告、重新取证费用票据等），证明当事人行为与损失之间存在因果关系及损失具体数额，通过协商、民事诉讼等途径主张权利。