供应商将商业汇票贴现后，银行是否还有追索权，这主要取决于贴现协议的具体约定以及票据法的相关规定。一般情况下，贴现是有追索权的，但也存在无追索权贴现的特殊情况。以下是对这一问题的详细分析：
一、有追索权贴现
法律依据：
- 根据《中华人民共和国票据法》第六十一条，汇票到期被拒绝付款的，持票人可以对背书人、出票人以及汇票的其他债务人行使追索权。汇票到期日前，若存在汇票被拒绝承兑、承兑人或者付款人死亡、逃匿、被依法宣告破产或因违法被责令终止业务活动等情形的，持票人也可以行使追索权。
实际操作：
- 在商业汇票贴现业务中，贴现银行作为持票人，若票据到期不获付款，可向贴现申请人（即供应商）及其他票据债务人追索，要求支付票据金额及相关费用。这意味着，贴现申请人在贴现后仍面临被追索的风险。
行使要求：
- 追索权必须在法定期限内行使，且需提供被拒绝承兑或被拒绝付款的证明。若承兑人或付款人未出具相关证明，应承担民事责任。
二、无追索权贴现
含义与特点：
- 无追索权贴现指贴现银行在取得贴现票据后，放弃对贴现申请人及其前手的追索权。若票据到期不能获得付款，贴现银行自行承担损失。
适用场景与条件：
- 无追索权贴现通常适用于承兑人信用等级高（如大型国有银行或信誉卓著的企业）的情况，且贴现银行对承兑人的信用状况有充分评估。此外，贴现协议中必须明确约定贴现银行放弃追索权的重要条款。
会计处理与影响：
- 对于不附带追索权的票据贴现，企业在会计上通常将应收票据的风险和未来经济利益全部转让给银行，冲减应收票据的账面价值，并将贴现值与账面价值之差额计入“财务费用”。
三、综合分析与建议
- 在国内商业汇票贴现实践中，有追索权贴现是常见方式，无追索权贴现相对较少，主要应用于特定的信用环境和交易场景。
- 供应商（贴现申请人）在进行汇票贴现时，应仔细审查贴现协议内容，明确追索权的存在与否及行使条件。若协议中未明确约定无追索权，则默认银行享有追索权，供应商需承担票据到期不获付款时的还款责任。
- 银行等金融机构在办理贴现业务时，也应严格评估承兑人的信用状况，审慎决定是否放弃追索权。若选择无追索权贴现，需确保承兑人信用可靠，以降低资金损失风险。
综上所述，供应商将商业汇票贴现后，银行是否享有追索权需根据贴现协议的具体约定及票据法的相关规定来确定。在实际操作中，建议供应商和银行均仔细审查协议条款，明确各自的权利和义务，以避免未来可能的法律纠纷和财务风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。