结论：在被继承人公告后仍不出庭的情况下，法院通常会根据现有证据和法律规定进行缺席判决。以下是对此问题的详细分析：
一、公告送达与缺席判决的法律基础
在民事诉讼中，当法院无法直接送达诉讼文书给当事人时，会采取公告送达的方式。公告送达是一种法定的送达方式，其效力等同于直接送达。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果被告经公告送达开庭传票后，无正当理由拒不到庭，或者未经法庭许可中途退庭的，法院可以缺席判决。这一规定同样适用于涉及被继承人的案件，如果被继承人（作为被告）经公告送达后不出庭，法院将依法进行缺席判决。
二、缺席判决的具体应用
证据审查：在缺席判决的情况下，法院会重点审查原告提供的证据，以确定案件事实。如果原告提供的证据充分、确凿，能够证明其主张的事实，法院将依法支持其诉讼请求。
法律适用：法院在缺席判决时，会严格依据相关法律法规进行裁判。例如，在涉及遗产继承的案件中，法院会依据《中华人民共和国民法典》中关于继承的规定，确定遗产的分配方案。
判决效力：缺席判决与对席判决具有同等的法律效力。被继承人（如果其最终出庭或得知判决结果）必须履行判决确定的义务，否则将面临法律制裁。
三、对被继承人的建议
积极应诉：尽管被继承人可能因各种原因无法出庭，但应尽可能通过其他方式（如委托律师）参与诉讼，以维护自己的合法权益。
关注案件进展：被继承人应关注案件的进展情况，及时了解法院的判决结果。如果认为判决结果有误或存在不公，可以在法定期限内提起上诉或申请再审。
履行判决义务：如果被继承人最终被判决承担某种义务（如支付款项、交付财产等），应按时履行。否则，将面临法院的强制执行措施，如冻结银行账户、查封财产等。
四、特殊情况下的处理
在某些特殊情况下，如被继承人下落不明且无财产可供执行，或者被继承人死亡且无继承人或继承人放弃继承等，法院可能会根据案件具体情况作出相应的处理。例如，裁定终结诉讼、中止执行等。但这些情况并不影响法院在公告送达后进行缺席判决的合法性。
总结与建议：在被继承人公告后仍不出庭的情况下，法院将依法进行缺席判决。被继承人应积极应诉、关注案件进展并履行判决义务。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。