结论概述：气象部门发布台风和冷空气预警程序是合法的，其依据在于《中华人民共和国气象法》及相关法规赋予的职责和权限。结合新闻背景，气象部门根据台风和冷空气的实际情况，及时发布预警，是履行其法定职责的体现。

1. 气象部门发布预警的法律依据

气象部门发布预警的合法性主要来源于《中华人民共和国气象法》及相关配套法规。根据《中华人民共和国气象法》第二十二条：“国家对公众气象预报和灾害性天气警报实行统一发布制度。各级气象主管机构所属的气象台站应当按照职责向社会发布公众气象预报和灾害性天气警报，并根据天气变化情况及时补充或者订正。其他任何组织或者个人不得向社会发布公众气象预报和灾害性天气警报。”这一条款明确规定了气象部门在发布气象预报和灾害性天气警报方面的权威性和排他性，即只有气象部门有权发布此类信息，且必须按照职责进行。

2. 气象部门发布预警的具体程序

气象部门在发布预警时，通常会遵循一套严格的程序。这包括监测天气变化、分析气象数据、评估灾害风险、制定预警级别和范围、以及通过适当渠道向公众发布预警信息等步骤。在新闻背景中，市气象台和省气象台根据台风“凤凰”和冷空气的实际情况，及时发布了海上大风预警，并提升了预警级别，这是符合气象部门发布预警的常规程序的。

3. 气象部门发布预警的合法性分析

从合法性的角度来看，气象部门发布预警的行为完全符合法律法规的规定。首先，气象部门作为负责气象监测和预报的专门机构，具有发布气象预报和灾害性天气警报的法定职责。其次，气象部门在发布预警时，遵循了严格的程序，确保了预警信息的准确性和及时性。最后，气象部门通过适当渠道向公众发布预警信息，履行了其向社会公众提供气象服务的义务。

4. 新闻背景中的法律启示

结合新闻背景，我们可以看到气象部门在发布预警方面发挥了重要作用。在台风和冷空气共同影响下，气温逐渐回落，风力逐渐增大，可能给市民的生活和出行带来不便甚至危险。气象部门及时发布预警信息，提醒市民注意防范，不仅体现了其履行法定职责的责任感，也体现了对公众生命财产安全的关心和保护。这也提醒我们，在面对自然灾害时，应密切关注气象部门发布的预警信息，及时采取防范措施，确保自身安全。

5. 可能的法律后果与公众责任

如果气象部门未能及时、准确地发布预警信息，导致公众因未能及时采取防范措施而遭受损失，气象部门可能需要承担一定的法律责任。然而，在新闻背景中，气象部门已经及时发布了预警信息，并提升了预警级别，因此不太可能因此承担法律责任。相反，公众在收到预警信息后，有义务采取必要的防范措施，如减少外出、准备雨具、增添衣物等，以减轻灾害可能带来的影响。如果公众因忽视预警信息而遭受损失，可能需要自行承担部分或全部责任。

综上所述，气象部门发布台风和冷空气预警程序是合法的，且符合法律法规的规定。在面对自然灾害时，我们应密切关注气象部门发布的预警信息，及时采取防范措施，确保自身安全。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。