冒用别人商标的行为确实属于公安机关的管辖范围，但这一行为同时也涉及多个部门的监管和处罚。以下是对此问题的详细分析：
一、公安机关与刑事侦查
主要职责：
- 冒用别人商标，若构成假冒注册商标罪，则属于刑事案件范畴，由公安机关负责立案侦查。公安机关在接到报案或自行发现线索后，会立即展开调查，收集证据，抓捕犯罪嫌疑人，并依法追究其刑事责任。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，假冒注册商标罪是指未经注册商标所有人许可，在同一种商品、服务上使用与其注册商标相同的商标，情节严重的行为。对于此类犯罪，公安机关有权进行立案侦查。
二、市场监督管理部门与行政执法
主要职责：
- 市场监督管理部门（原工商行政管理部门）负责对注册商标和未注册商标使用行为的监督管理，并依职权或根据投诉查处商标侵权行为。即使行为尚未构成犯罪，只要存在冒用商标的侵权行为，市场监督管理部门也有权进行处理。
处理流程：
- 市场监督管理部门在接到投诉或自行发现侵权行为后，会立即展开调查。一旦确认存在侵权行为，会责令侵权人立即停止侵权行为，没收、销毁侵权商品和主要用于制造侵权商品、伪造注册商标标识的工具，并处以罚款等行政处罚措施。对于情节严重的案件，市场监督管理部门还会将案件移交给公安机关进行进一步处理。
三、其他相关部门的监管
海关部门：
- 海关部门可以根据商标权人的申请对商标进行备案，并在进出口环节对嫌疑货物进行扣留和查处。对于进出口的侵权货物，海关部门有权做出没收、罚款等行政处罚。
检察与审判机关：
- 人民检察院负责对假冒注册商标罪案件进行审查起诉。人民法院则最终对案件进行审判，依据法律和事实对被告人是否构成犯罪、应承担何种刑事责任等作出公正的裁决。
四、法律建议与后果
法律建议：
- 如果你发现有人冒用你的商标，或者你涉嫌冒用他人商标，建议立即停止相关行为，并咨询专业律师以了解你的法律权利和义务。同时，你可以向市场监督管理部门或公安机关报案，以维护你的合法权益。
法律后果：
- 冒用别人商标的行为不仅可能构成刑事犯罪，还可能面临民事赔偿和行政处罚。根据《中华人民共和国刑法》和《中华人民共和国商标法》的相关规定，侵权人可能需要承担停止侵权、赔偿损失等民事责任，以及罚款、没收违法所得等行政责任。在情节严重的情况下，还可能面临有期徒刑等刑事处罚。
总结来看，冒用别人商标的行为确实属于公安机关的管辖范围，但同时也涉及市场监督管理部门等多个部门的监管和处罚。在实际操作中，受害人或相关权利人可以根据具体情况选择合适的部门进行投诉或举报，以维护自身合法权益。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。