法律援助工作的主管部门是司法行政部门，具体来说：

1. 国家级层面：

   • 主管部门：国务院司法行政部门，即司法部，负责指导、监督全国的法律援助工作。
   • 主要职责：制定法律援助工作的相关政策、法规和规章制度，对法律援助工作进行宏观指导、监督和检查，推动法律援助事业的整体发展。

2. 地方级层面：

   • 管理部门：县级以上地方各级人民政府司法行政部门，负责监督管理本行政区域内的法律援助工作。
   • 具体职责：
     • 落实国家法律法规、政策及部署，结合本地实际制定实施办法和工作细则。
     • 对法律援助机构的设立、变更、撤销进行审批，并对其工作进行考核评估。
     • 培训、考核和管理法律援助人员，提高其业务素质和服务水平，同时监督其依法履职，查处违法违规行为。
     • 确保法律援助经费的合理使用和安全，提高经费使用效益。

法律背景与目的：

法律援助是由政府设立的法律援助机构或符合条件的律师事务所，为经济困难或符合特定条件的公民（尤其是农村地区的公民）无偿提供法律服务的一项法律保障制度。其目的在于保障公民的合法权益，促进司法公正，使每一个需要法律帮助的公民都能获得及时、有效的法律支持。

申请与受理流程：

当公民因经济困难或其他符合法律援助条件的情形而需要法律帮助时，可以向当地的司法行政部门或法律援助机构提出申请。这些机构将依据相关法律法规和政策规定，对申请人的资格进行审核，并决定是否为其提供法律援助服务。在申请过程中，申请人应如实提供相关信息和材料，以便机构能够准确判断其是否符合法律援助的条件。

法律援助机构的作用：

法律援助机构是具体实施法律援助工作的部门，负责受理、审查法律援助申请，指派或安排人员为符合条件的公民提供法律援助服务。在司法行政部门的管理和监督下，法律援助机构开展日常工作，确保法律援助服务的专业性和有效性。

综上所述，法律援助工作是一个由司法行政部门主导，涉及多级管理、多个部门和专业人员的系统性工程。如果您有关于法律援助的具体问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。