当业委会中有一名成员辞职时，虽然情况与全体成员辞职有所不同，但处理流程在核心环节上具有相似性，以下是详细的处理步骤和建议：
一、确认辞职程序和有效性
审查辞职文件：
- 仔细核查该成员的辞职报告，确认其真实性、自愿性，以及是否符合《业主大会和业主委员会指导规则》等相关法规的规定。辞职报告应包含成员的亲笔签名及清晰的辞职原因。
核实辞职条件：
- 根据地方具体规定，核实该成员的辞职申请是否满足法定条件，如是否需要提交书面申请，并是否需经业主大会或业委会内部会议认可（具体依据小区管理规约或相关法规）。
二、及时进行公告
- 向业主公告：
- 在小区显著位置（如公告栏、小区门口）及通过小区业主群、物业管理平台等渠道发布公告，告知业主该业委会成员辞职的情况，包括辞职原因、时间及对业委会工作可能产生的影响。
三、考虑是否需要补充成员及启动相关程序
评估影响：
- 根据业委会的组成和小区管理的实际需要，评估该成员辞职对业委会工作的影响。如果辞职导致业委会成员人数低于法定最低人数或影响业委会正常运作，则需考虑补充成员。
启动补充程序：
- 若需补充成员，应依据小区管理规约或相关法规，由业主大会或业委会（在符合规定的情况下）决定补充方式，如增补选举或指定临时成员等。
- 若决定进行增补选举，应制定选举方案，明确选举程序、规则、候选人资格条件等，并经业主大会讨论通过后实施。
政府指导（如需）：
- 在补充成员过程中，如遇到困难或需要指导，可寻求当地房地产行政主管部门或街道办事处、乡镇人民政府的帮助。
四、过渡期间的工作安排（如需）
调整业委会分工：
- 在补充成员前，业委会可内部调整分工，确保各项工作不受影响。
明确临时职责（如指定临时成员）：
- 若指定了临时成员，应明确其职责和权限，确保其在过渡期间能够履行好职责。
保持沟通透明：
- 业委会应定期向业主通报工作进展和补充成员的情况，保持沟通透明，增强业主的信任和支持。
五、后续工作
完善业委会制度：
- 针对此次成员辞职事件，业委会可反思并完善相关制度，如成员辞职流程、业委会成员选拔和考核机制等，以提高业委会的稳定性和运作效率。
加强业主参与：
- 鼓励业主积极参与小区管理，增强业主对业委会工作的监督和支持，共同维护小区的良好秩序和和谐氛围。
综上所述，当业委会中有一名成员辞职时，应首先确认辞职程序的合法性和有效性，及时公告辞职情况，并根据实际情况评估是否需要补充成员及启动相关程序。在过渡期间做好工作安排，确保小区物业管理的连续性和稳定性。