行政复议申请人因涉及刑事案件被拘留，并不直接导致行政复议程序中止，但在特定条件下可能暂缓执行行政拘留。以下是对此问题的详细分析：

一、行政复议与拘留执行的基本原则

根据《中华人民共和国行政处罚法》第七十三条的规定，当事人对行政处罚决定不服，申请行政复议或者提起行政诉讼的，行政处罚不停止执行，法律另有规定的除外。这意味着，在一般情况下，即使当事人申请了行政复议，行政拘留也不会因此被自动中止或暂缓执行。行政复议的提起并不直接影响行政拘留的执行，两者在法律性质上是独立的。

二、特定条件下行政拘留的暂缓执行

尽管一般原则是行政处罚不停止执行，但法律也规定了可以暂缓执行的特殊情形。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第一百零七条，被处罚人不服行政拘留处罚决定，申请行政复议、提起行政诉讼的，可以向公安机关提出暂缓执行行政拘留的申请。公安机关认为暂缓执行行政拘留不致发生社会危险的，由被处罚人或者其近亲属提出符合条件的担保人，或者按每日行政拘留二百元的标准交纳保证金，行政拘留的处罚决定可以暂缓执行。

暂缓执行的条件：

1. 申请暂缓执行：被处罚人或其近亲属需向公安机关提出暂缓执行行政拘留的申请。
2. 担保或保证金：提供符合法定条件的担保人，或者按照每日行政拘留二百元的标准交纳保证金。担保人需满足与本案无牵连、享有政治权利且人身自由未受到限制、在当地有常住户口和固定住所、有能力履行担保义务等条件。
3. 社会危险性评估：公安机关需评估暂缓执行行政拘留是否会发生社会危险，如被处罚人可能实施新的违法犯罪行为、干扰证人作证、毁灭证据、串供等情形。若认为不会发生社会危险，则可考虑暂缓执行。

三、不能暂缓执行行政拘留的情形

• 被处罚人仅申请行政复议，但未申请暂缓执行行政拘留。
• 公安机关认为暂缓执行会发生社会危险，例如被处罚人有再犯可能性、可能打击报复举报人等。
• 被处罚人或其近亲属既无法提供符合条件的担保人，也不能按标准交纳保证金。

四、行政复议终止的情形及其对拘留的影响

行政复议终止是指在特定情况下，行政复议程序不再继续进行的状态。根据《中华人民共和国行政复议法》第四十一条，行政复议终止的情形包括申请人撤回行政复议申请且行政复议机构准予撤回、作为申请人的自然人死亡且没有近亲属或者其近亲属放弃行政复议权利等。若行政复议机关最终决定撤销原处罚决定，则拘留将不再执行。但这一结果并不直接由“被拘留”这一事实导致行政复议程序中止，而是由行政复议机关对原处罚决定的审查结果决定。

五、法律建议

面对行政拘留的决定，如果被处罚人希望申请复议，并希望在此期间能暂缓执行行政拘留，应尽快咨询专业律师（即本人）。本人可以提供具体的法律程序指导，帮助被处罚人正确行使自己的权利，同时评估是否符合暂缓执行的条件，并准备相应的申请材料。

综上所述，行政复议申请人因涉及刑事案件被拘留，并不直接导致行政复议程序中止。但在满足特定条件下，通过法定程序，行政拘留的处罚是可以暂缓执行的。因此，建议被处罚人在面临此类情况时，及时寻求专业法律帮助，以确保自己的合法权益得到妥善维护。