当员工被公司辞退且公司不给补偿时，可以通过以下几种途径快速解决并举报：

1. 向劳动监察部门投诉

   • 适用情况：当公司存在违反劳动保障法律、法规或规章的行为，如未依法支付经济补偿时，劳动者可以向劳动监察部门投诉。
   • 具体步骤：
     1. 收集证据：包括劳动合同、工资条、工作证、辞退通知书等能证明劳动关系及辞退事实的材料。这些证据是后续投诉和维权的基础。
     2. 提交投诉：携带相关证据材料，前往当地人力资源和社会保障局的劳动监察大队或劳动监察科进行投诉。在投诉时，应详细陈述公司辞退员工且未支付补偿的事实，并提供相关证据。
     3. 等待处理：劳动监察部门会对投诉进行调查核实，并依法作出处理决定。如果公司确实存在违法行为，劳动监察部门会责令其改正，并可能对公司进行行政处罚。
   • 法律依据：《劳动保障监察条例》第十一条规定，劳动保障行政部门对用人单位制定内部劳动保障规章制度的情况、与劳动者订立劳动合同的情况等进行监察。若用人单位存在违法行为，由劳动保障行政部门依法责令改正或作出相应行政处罚。

2. 申请劳动仲裁

   • 适用情况：当员工与公司之间因辞退补偿等问题发生争议时，可以申请劳动仲裁。
   • 具体步骤：
     1. 准备仲裁申请书：明确写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求（如要求支付赔偿金）、事实和理由等内容。仲裁申请书是启动仲裁程序的关键文件。
     2. 提交证据材料：与投诉时准备的证据类似，需能够支持自己的仲裁请求。证据材料应充分、确凿，以证明公司辞退员工且未支付补偿的事实。
     3. 申请仲裁：将仲裁申请书和相关证据材料提交给劳动争议仲裁委员会。仲裁委员会会受理符合条件的仲裁申请，并安排开庭审理。
     4. 参与仲裁庭审：按照仲裁委员会的安排参加庭审，陈述自己的观点和理由，提供证据并进行质证和辩论。在庭审过程中，应如实陈述事实，提供充分证据支持自己的主张。
     5. 等待裁决结果：仲裁委员会会根据双方提供的证据和法律规定作出裁决。如果裁决支持员工的请求，公司应依法履行裁决义务。
   • 法律依据：《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条规定，因除名、辞退和辞职、离职发生的争议属于劳动争议范畴，可依法申请仲裁。

3. 提起诉讼

   • 适用情况：如果对劳动仲裁结果不满意，或者公司不履行仲裁裁决，员工可以提起诉讼。
   • 具体步骤：
     1. 准备起诉状：向法院提交起诉状及相关证据材料。起诉状应明确写明原告和被告的基本信息、诉讼请求、事实和理由等内容。
     2. 法院受理：符合立案条件的案件，法院会予以受理。在受理过程中，法院会对起诉状和相关证据材料进行审查。
     3. 开庭审理：法院安排开庭时间，双方当事人出庭陈述意见、举证质证。在庭审过程中，应如实陈述事实，提供充分证据支持自己的主张。
     4. 法院判决：法院根据审理情况作出判决。如果判决支持员工的请求，公司应依法履行判决义务。
   • 注意事项：诉讼程序相对复杂，且可能涉及较高的法律成本和时间成本。因此，在提起诉讼前，应充分评估自己的诉讼风险和成本，并考虑是否需要寻求专业律师的帮助。

额外建议：

• 在整个维权过程中，员工应保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击公司。
• 如果所在单位有工会组织，可以向工会反映情况，寻求工会的支持和帮助。工会作为员工的代表机构，有义务维护员工的合法权益。
• 对于经济困难或其他符合条件的劳动者，可以申请法律援助，获得专业法律人士的免费或低费用服务。法律援助机构会为符合条件的劳动者提供法律咨询、代理诉讼等法律服务。

希望以上建议能对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。