结论前置：
- 若参与三公赌博被抓后未被拘留，而是接受了其他行政处罚（如罚款），则通常不会留下严格意义上的“案底”，但会有相关记录。
- 若因参与三公赌博情节严重，涉嫌赌博罪并被刑事拘留，且经法院审判被认定有罪并判处刑罚，则会留下犯罪记录即案底。
具体分析：
一、行政处罚情况
- 性质：参与三公赌博若情节较轻，可能仅面临行政处罚，如罚款、没收违法所得等，而不会被拘留。
- 记录情况：虽然行政处罚不属于犯罪记录，但公安机关会保留相关记录。这些记录通常不会公开，但在某些特定情况下，如特殊职业的政审环节，可能会被查询到。
- 影响：行政处罚的记录对个人产生的影响相对有限，主要集中在某些特殊职业的入职审查上，不会像犯罪记录那样产生广泛和长期的不利影响。
二、刑事处罚情况
- 性质：若参与三公赌博情节严重，涉嫌赌博罪，则可能面临刑事拘留，并经法院审判。
- 记录情况：若经法院审判被认定有罪并判处刑罚，就会留下犯罪记录即案底。这个记录会伴随个人终身，并在公安机关等系统中长期保存。
- 影响：犯罪记录对个人及家庭的很多方面都会产生重大影响。例如，个人在入伍、就业时，法律规定有如实报告犯罪记录的义务；此外，还可能对子女的参军、报考军校、报考某些公务员岗位等政审环节产生负面影响。
三、特殊情况说明
- 未被拘留的情况：若参与三公赌博被抓后，因情节轻微或其他原因未被拘留，而是接受了罚款等行政处罚，则通常不会留下严格意义上的“案底”。但需注意，即使未被拘留，相关记录仍可能存在，并在特定情况下被查询到。
- 取保候审的情况：若因参与三公赌博被刑事拘留后，申请取保候审并获得批准，这并不意味着案件结束或不会留下案底。取保候审只是刑事诉讼过程中的一种强制措施，案件仍可能继续进行，并最终可能留下犯罪记录。
总结与建议：
参与三公赌博被抓后是否会留下案底，主要取决于赌博行为的情节严重程度以及后续的法律处理结果。若情节较轻，可能仅面临行政处罚而不会留下案底；但若情节严重，涉嫌赌博罪并被判处刑罚，则会留下犯罪记录。因此，建议公众务必遵守法律法规，远离任何违法犯罪行为，以保护自己和他人的未来不受影响。若您或您身边的人涉及此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。