结论前置：当劳动合同到期后，公司未续签但劳动者继续上班，双方之间形成事实劳动关系。公司需承担未及时续签合同的法律后果，劳动者也享有相应的权利并可采取一定的应对措施来保障自己的合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、事实劳动关系的认定与法律效果
- 定义与认定：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作且用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，即形成事实劳动关系。此时，虽无书面合同，但劳动关系依然存在，受劳动法律法规的约束和保护。
- 法律效果：在事实劳动关系下，劳动者有权要求用人单位按照原工资待遇或不低于原待遇的标准支付劳动报酬，并提供不低于原劳动合同约定的劳动条件。
二、公司的法律义务与可能面临的后果
及时续签义务：
- 用人单位应及时与劳动者续签书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免法律风险。
支付双倍工资：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 具体计算：用工之日从原劳动合同到期后的第二个月开始计算，最多支付11个月。例如，若劳动合同于2024年1月1日到期，之后劳动者继续在公司工作但未续签合同，那么从2024年2月1日起，劳动者有权要求公司支付双倍工资。
视为签订无固定期限劳动合同：
- 法律依据：根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
- 实例说明：继续上例，如果到2025年1月1日公司仍未与劳动者续签劳动合同，则视为公司与劳动者已订立无固定期限劳动合同。
经济补偿：
- 如因用人单位原因终止劳动关系，需按法律规定向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
三、劳动者的权利与应对措施
要求签订书面合同：
- 劳动者有权要求公司及时与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
主张双倍工资差额：
- 若公司未依法支付双倍工资，劳动者可通过劳动仲裁或诉讼等法律途径要求公司支付差额。同时，劳动者应注意收集相关证据（如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等）以证明自己在劳动合同到期后继续在公司工作的事实。
要求签订无固定期限劳动合同或经济补偿：
- 若符合签订无固定期限劳动合同的条件，劳动者可要求公司签订；若公司拒绝，劳动者可以因用人单位不续签劳动合同为由，提前三十日书面通知用人单位解除劳动关系，并要求公司支付经济补偿。
四、处理建议与维权途径
与公司沟通：
- 劳动者应主动与公司协商续签劳动合同事宜，了解公司的态度和想法，并尽快落实书面合同的签订。
保留证据：
- 在继续上班或处理劳动合同相关事宜时，劳动者应注意保留好能证明自己与公司存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件等。这些证据在可能的劳动纠纷中至关重要。
合法维权：
- 如果公司拒绝续签合同、支付经济补偿或存在其他违法行为，劳动者可以通过与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等合法途径来维护自己的权益。在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，依法行事。
综上所述，劳动合同到期后的处理问题涉及多个法律知识点，包括劳动关系的终止与延续、经济补偿的支付以及劳动者的维权途径等。劳动者应充分了解相关法律法规和政策规定，并根据自身实际情况采取合适的行动来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。