结论前置：
详细分析：
一、劳动合同终止的定义
劳动合同终止，是指劳动合同因期限届满或者其他法定、约定事由的出现而不再继续存在的法律状态。在您所描述的情况下，劳动合同第二次续约到期，用人单位不同意再续签，即属于劳动合同因期限届满而终止的情形。
二、无固定期限劳动合同的订立条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，无固定期限劳动合同的订立需要满足特定的条件。这些条件包括但不限于：劳动者在该用人单位连续工作满十年；用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年；连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有特定违法违规情形，续订劳动合同的。在您所描述的情况下，除非劳动者满足上述条件之一，并且提出了订立无固定期限劳动合同的要求，否则用人单位没有义务与劳动者签订无固定期限劳动合同。
三、用人单位不同意续签的法律后果
劳动合同终止：如前所述，劳动合同第二次续约到期，用人单位不同意再续签，即导致劳动合同终止。
经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位依照劳动合同期满终止固定期限劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。因此，在您所描述的情况下，如果用人单位没有维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付经济补偿。
四、特殊情况的处理
在实际操作中，也存在一些特殊情况。例如，如果劳动者在劳动合同期满前已经与用人单位协商一致，同意在期满后继续按照原条件履行劳动合同，但用人单位在期满后反悔不同意续签，这种情况下劳动者可能可以通过法律途径维护自己的权益。然而，这种情况并不常见，且需要具体的证据支持。
法律建议：
了解自身权益：作为劳动者，您应当了解自己在劳动合同终止时的权益，包括经济补偿等。
与用人单位协商：在劳动合同期满前，您可以与用人单位协商续签事宜，了解用人单位的意图和条件。
寻求法律帮助：如果您对劳动合同终止或经济补偿等问题有疑问或争议，可以寻求专业律师的法律帮助，以维护自己的合法权益。
可能法律后果：
如果用人单位合法终止劳动合同并支付经济补偿：则劳动者需要接受这一结果，并寻找新的工作机会。
如果用人单位违法终止劳动合同或未支付经济补偿：则劳动者可以通过法律途径维护自己的权益，包括申请劳动仲裁或提起诉讼等。