核心前提：敲诈勒索行为已过法定诉讼时效，但被害人持续主张权利（如报案、控告等）。
结论前置：诉讼时效届满后，被害人仍可向司法机关报案或控告，但行为人可主张时效抗辩，司法机关需结合证据及法律规定综合判断是否追究刑事责任。具体分析如下：

1. 诉讼时效的法律规定
   根据《中华人民共和国刑法》第八十七条、第八十八条及《中华人民共和国刑事诉讼法》相关规定，敲诈勒索罪的法定最高刑为十年以上有期徒刑的，追诉时效期限为十五年；法定最高刑为不满五年有期徒刑的，追诉时效期限为五年。若被害人未在追诉期限内报案，且无法定延长事由（如司法机关立案后逃避侦查、被害人控告后未立案等），则行为人可主张诉讼时效已过，司法机关原则上不得追诉。

2. 被害人持续主张权利的法律效果
   若被害人在诉讼时效期间内已向公安机关报案或向法院提起自诉，但因证据不足、程序问题等原因未立案或未判决，且被害人未放弃主张，则可能构成诉讼时效中断或延长。根据《刑法》第八十八条第二款，被害人在追诉期限内提出控告，人民法院、人民检察院、公安机关应当立案而不予立案的，不受追诉期限的限制。但若被害人仅在时效届满后持续控告，且无其他法定事由，则难以突破时效限制。

3. 司法实践中的处理方式

   • 刑事立案阶段：公安机关接到报案后，会审查是否在追诉期限内及是否存在时效中断、延长事由。若时效已过且无法定例外情形，可能不予立案。
     
   • 审查起诉阶段：检察机关认为时效已过的，可作出不起诉决定；若认为存在时效中断、延长事由，可提起公诉。
     
   • 审判阶段：法院可主动审查诉讼时效问题。若行为人提出时效抗辩且法院认定时效已过，应判决无罪或终止审理。
     

4. 被害人的救济途径

   • 补充证据：若被害人能提供新证据证明犯罪行为发生在时效期内，或证明存在时效中断、延长事由（如行为人逃避侦查、被害人控告后未立案等），可推动司法机关重新审查。
     
   • 民事赔偿主张：即使刑事责任无法追究，被害人仍可依据《民法典》向行为人提起民事诉讼，要求赔偿损失。民事诉讼时效通常为三年，自知道或应当知道权利受损之日起计算。
     

建议：若您作为被害人面临此类情况，需尽快整理报案记录、控告材料、证据线索等，向司法机关提交书面申请，说明时效中断或延长的理由。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程及证据要求。