当罪犯认为刑事判决存在错误并向公安机关表达申诉意愿时，实际上，按照我国法律程序，这类申诉通常应直接向检察院提出，而非公安机关。不过，为了全面解答您的疑问，我会基于检察院处理此类申诉的常规流程，给出一个类似情境下的处理说明，以便您理解整个申诉及处理机制。
申诉处理流程（以检察院为例，类似流程适用于罪犯对判决的申诉）
一、受理申诉
提交申诉：
- 罪犯或其法定代理人、近亲属可以通过书面形式（如申诉书）或口头形式向检察院提交申诉。申诉中需明确指出认为判决有误的具体理由，并提供相关证据或线索。
初步审查：
- 检察院在接收到申诉后，会首先对申诉人的主体资格、申诉期限以及申诉材料的完整性进行审查。确保申诉人符合法定申诉条件，且申诉在法定期限内提出。
二、复查与调查
调阅案卷：
- 若初步审查认为申诉具有进一步审查的价值，检察院会向作出原判决的法院调阅案件卷宗，以全面了解案件的侦查、起诉、审判过程。
调查核实：
- 检察院会根据申诉内容，对相关证据进行调查核实。这可能包括询问案件当事人、证人、鉴定人等，以及对新提出的证据进行重新鉴定、勘验。
集体讨论：
- 对于复杂或疑难的申诉案件，检察院会组织由部门负责人、资深检察官等组成的讨论小组，对复查情况进行集体讨论，以综合判断原判决是否存在错误。
三、处理决定
维持原判决：
- 若经复查认为原判决认定事实清楚、证据确实充分、适用法律正确且程序合法，检察院会作出维持原判决的决定，并向申诉人说明理由。
提出抗诉或检察建议：
- 若发现原判决存在错误，如认定事实错误导致量刑不当、适用法律错误等，检察院会依法向法院提出抗诉，要求法院重新审理案件。
- 对于原判决虽存在瑕疵但尚未达到抗诉标准的案件，检察院可以向法院提出检察建议，督促法院改进审判工作、规范司法行为。
公安机关的角色与注意事项
- 虽然罪犯的申诉通常不直接向公安机关提出，但公安机关在刑事诉讼过程中也扮演着重要角色。如果罪犯在服刑期间认为判决有误，并希望通过公安机关转交申诉材料，公安机关应依法告知其正确的申诉途径，即向检察院提出。
- 公安机关在接到涉及判决错误的反映时，应依法履行职责，确保相关信息的及时传递和妥善处理，但不应直接对判决进行审查或更改。
综上所述，当罪犯认为刑事判决存在错误时，应依法向检察院提出申诉。检察院会按照严谨的程序对申诉进行审查和复查，并根据审查结果作出相应的处理决定。公安机关在此过程中主要起到信息传递和协助的作用。