鉴定人虚假鉴定，若情节严重构成犯罪的，一般由公安机关负责立案侦查。以下是对此问题的详细分析：
一、鉴定人虚假鉴定的法律责任
根据《工伤保险条例》第六十一条的规定，从事劳动能力鉴定的组织或者个人如果提供虚假鉴定意见，将由社会保险行政部门责令改正，并处以2000元以上1万元以下的罚款。如果情节严重，构成犯罪的，将依法追究刑事责任。这意味着，鉴定人虚假鉴定不仅可能面临行政处罚，还可能承担刑事责任。
二、立案侦查的机关
公安机关：在大多数情况下，如果鉴定人的虚假鉴定行为涉嫌犯罪，如伪造证据、诈骗等，将由公安机关负责立案侦查。公安机关具有刑事侦查权，能够调查取证，查明事实真相，并将犯罪嫌疑人移送检察机关审查起诉。
其他机关：虽然公安机关是主要的刑事侦查机关，但在某些特定情况下，如涉及特定领域的犯罪（如税务犯罪可能由税务机关先行调查），其他机关也可能参与立案侦查工作。然而，在鉴定人虚假鉴定的案件中，这种情况较为罕见。
三、立案侦查的流程
受理投诉或报案：当发现鉴定人存在虚假鉴定行为时，受害人或相关机构可以向公安机关报案或投诉。
审查立案：公安机关在接到报案或投诉后，将进行审查，判断是否符合立案条件。如果符合立案条件，将予以立案，并指定专人负责案件的调查工作。
调查取证：立案后，公安机关将展开调查取证工作，收集相关证据，查明事实真相。这包括询问当事人、证人，调取相关文件、记录等。
移送审查起诉：在调查取证工作完成后，公安机关将把案件移送检察机关审查起诉。检察机关将对案件进行审查，判断是否符合起诉条件。
四、法律建议
及时报案：如果发现鉴定人存在虚假鉴定行为，应及时向公安机关报案，以便尽快启动立案侦查程序。
保留证据：在报案前，应尽可能收集并保留相关证据，如鉴定报告、聊天记录、转账记录等，以便在立案侦查过程中提供有力支持。
配合调查：在立案侦查过程中，应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述事实，提供线索和证据。
作为专业律师，我建议你在遇到此类问题时，及时寻求法律帮助，以便更好地维护自己的合法权益。如果你有任何关于刑事辩护、取保候审、律师会见、诈骗犯罪、暴力犯罪、经济犯罪等方面的法律问题，都可以直接向我咨询。