刑事拘留被逮捕后，仍然有可能申请取保候审。

首先，我们需要明确取保候审的定义。取保候审是刑事诉讼中的一种强制措施，它要求犯罪嫌疑人、被告人提供保证人或者交纳保证金，以确保其不会逃避或妨碍侦查、起诉和审判，并能够随传随到。

接下来，我们探讨在刑事拘留被逮捕后，哪些情况下可以申请取保候审。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下情形之一可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑：这意味着犯罪嫌疑人的犯罪行为相对较轻，可能不会面临长期的监禁。

2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性：这要求犯罪嫌疑人在取保候审期间不会再次实施犯罪、不会干扰证人作证、不会毁灭证据等。

3. 患有严重疾病、生活不能自理，或者怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性：这些情况下，犯罪嫌疑人由于身体原因或特殊生理状态，取保候审不会对社会造成危害。

4. 羁押期限届满，但案件尚未办结，需要采取取保候审：这通常发生在案件审理过程中，由于各种原因（如证据收集、证人出庭等）导致案件无法及时结案，而犯罪嫌疑人的羁押期限已经届满。

在申请取保候审时，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权提出申请。申请时，需要向办案机关提交书面申请，并说明申请理由和拟采取的保证方式（如保证金保证或保证人保证）。

然而，最终是否批准取保候审，由司法机关根据具体情况判断。司法机关会综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪情节、社会危险性、身体状况以及案件审理的进度等因素，来做出是否准许取保候审的决定。

以您提到的案例为例，小朱因涉嫌犯罪被刑事拘留并逮捕。小朱的家人认为小朱患有严重疾病、生活不能自理，且采取取保候审不会有社会危险性，因此以小朱近亲属的身份向相关部门提出取保候审申请。但执法部门认为还需进一步调查小朱是否真的无社会危险性，这是执法部门在履行其审查职责，以确保取保候审决定符合法律规定。

综上所述，刑事拘留被逮捕后，仍然有可能申请取保候审，但具体是否批准，需要根据犯罪嫌疑人的具体情况和司法机关的审查结果来决定。