关于抚养费由哪个部门起诉的问题，这实际上涉及到了抚养费纠纷的解决途径，而非直接由某个部门来“起诉”。不过，我可以为您详细解释在抚养费纠纷中，通常是如何通过法律途径来解决的。

首先，需要明确的是，抚养费纠纷通常发生在父母（或法定监护人）之间，关于子女抚养费用的分担问题。当一方未按照约定或法律规定支付抚养费时，另一方有权通过法律途径来维护子女的合法权益。

一、抚养费纠纷的解决途径

1. 协商与调解：

   • 在发生抚养费纠纷时，双方首先可以尝试通过协商或调解的方式来解决。这可以包括家庭内部的协商、社区调解组织的介入等。

2. 法律诉讼：

   • 如果协商和调解无法达成一致，那么受损害方（通常是直接抚养子女的一方）可以向人民法院提起诉讼，要求对方支付拖欠的抚养费。
   • 在这个过程中，起诉方需要准备相关的证据材料，如抚养协议、支付记录、子女生活费用清单等，以证明对方未履行抚养义务。

二、关于起诉的具体部门

• 实际上，抚养费纠纷的起诉并不是由某个特定的政府部门来受理的，而是由人民法院来审理。
• 起诉方需要向有管辖权的人民法院（通常是被告住所地或经常居住地的基层人民法院）提交起诉状和相关证据材料。
• 人民法院在受理案件后，会依法进行审理，并根据事实和法律规定作出判决。

三、法律依据

• 在处理抚养费纠纷时，主要依据的是《中华人民共和国民法典》中关于婚姻家庭编的规定，特别是关于父母对子女抚养义务和抚养费支付的相关条款。
• 此外，如果涉及非婚生子女的抚养问题，同样适用《中华人民共和国民法典》中关于非婚生子女享有与婚生子女同等权利的规定。

四、实际案例

• 以您提供的非婚生子女抚养费案例为例，当非婚生子女的母亲因生活困难向法院提起诉讼，要求生父承担抚养责任时，法院会依法进行审理，并根据事实和法律规定作出判决。
• 在这个案例中，法院最终判决生父支付拖欠的抚养费，并确定了未来的抚养费支付标准。

综上所述，抚养费纠纷并不是由某个特定的政府部门来起诉的，而是通过法律诉讼途径，由人民法院来审理和判决。如果您在抚养费方面遇到纠纷，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和维权途径。