针对您提出的问题，即法院判决书下来后，被告上诉，然后原告与被告私底下协商，应该如何通知法院，以下是我为您提供的详细解答：

在司法实践中，当法院作出判决后，双方当事人若选择私下达成和解，这是一种相对常见的纠纷解决方式。关于是否需要通知法院，这主要取决于和解的具体内容以及是否涉及判决内容的变更或履行。

一、一般情况下无需通知法院

如果双方私下和解仅仅是对争议事项达成了一致，自行解决了纠纷，且这种和解并不涉及法院已作出判决内容的变更或履行方式的改变，那么通常情况下，无需特意去告知法院。因为双方自主协商的结果，只要不影响到公共利益或他人合法权益，法院一般不会主动干预。

二、涉及判决内容变更或履行时需通知法院

然而，如果双方私下和解的过程中，涉及到了法院已作出判决内容的变更，比如改变了判决中的履行方式、时间、金额等关键要素，或者和解协议中的履行情况与原判决不一致，那么在这种情况下，建议及时告知法院。这是因为法院需要根据新的情况来进行相应的处理，以确保法律的公正和权威，避免后续可能引发的法律问题或争议。

三、如何通知法院

如果您决定需要通知法院，可以通过以下方式：

1. 书面形式：撰写一份正式的书面通知，详细说明双方和解的内容、涉及判决变更的具体情况以及请求法院进行相应处理的意愿。将这份书面通知提交给负责该案件的法院或法官。

2. 口头形式（需记录）：如果条件允许，您也可以选择口头通知法院，但务必确保有法院工作人员在场记录，并随后补交书面材料以确认通知内容。

四、保留相关证据

无论是否选择通知法院，都建议您妥善保留好和解协议等相关证据。这些证据在日后可能出现的纠纷中，将作为证明和解事实的关键依据，有助于维护双方的合法权益。

综上所述，是否通知法院需要根据和解的具体内容以及是否涉及判决内容的变更或履行来灵活决定。如果涉及判决内容的变更或履行，建议及时通知法院；如果只是单纯的私下和解且不影响判决，则可不通知法院，但务必保留好相关证据。希望这些解答能对您有所帮助。