在甲告乙胜诉、乙告甲也胜诉的情况下，执行问题需要根据具体判决内容和双方的权利义务关系来综合处理。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、执行依据与相互抵销的可能性
执行依据：
- 甲告乙胜诉，意味着甲获得了对乙的某种权利（如赔偿金、返还财产等），乙有义务履行该判决。
- 乙告甲胜诉，则乙获得了对甲的某种权利，甲有义务履行该判决。
相互抵销的可能性：
- 如果两个判决涉及的是同一种类的债权债务关系（如都是金钱给付），且双方均同意，理论上可以通过协商进行相互抵销。但需注意，抵销需符合法律规定，且不得损害第三方利益。
- 如果判决内容不同（如一个是金钱给付，一个是行为履行），则通常无法直接抵销，需要分别执行。
二、执行程序与顺序
分别申请执行：
- 甲和乙均需根据各自的胜诉判决，向法院申请强制执行。
- 法院会分别立案，并按照法定程序进行执行。
执行顺序：
- 执行顺序通常取决于申请执行的时间先后、判决内容的性质以及法院的执行安排。
- 在实践中，法院可能会根据案件的具体情况，协调双方的执行，以避免执行冲突或资源浪费。
三、执行中的协调与处理
法院协调：
- 法院在执行过程中，可能会发现双方互负债务的情况，此时法院可以依职权或应双方申请，进行执行协调。
- 协调的方式可能包括中止某一方的执行、促使双方达成和解协议等。
双方和解：
- 甲和乙也可以在执行过程中自行协商，达成和解协议。
- 和解协议可以涉及债务的抵销、分期履行、变更履行方式等内容，但需经法院确认并制作调解书或裁定书，以具有法律效力。
四、特殊情况的处理
执行不能：
- 如果一方因财产不足等原因无法履行判决，另一方可以申请法院采取查封、扣押、拍卖等强制措施。
- 同时，无法履行的一方也可能面临被纳入失信被执行人名单、限制高消费等法律后果。
执行异议：
- 如果一方对执行行为或执行标的提出异议，可以依法向法院提出执行异议申请。
- 法院会依法审查并作出裁定，保障当事人的合法权益。
五、建议与注意事项
及时申请执行：
- 甲和乙均应在判决生效后及时向法院申请执行，以免超过申请执行期限。
积极配合执行：
- 双方应积极配合法院的执行工作，提供必要的财产线索和协助。
寻求法律帮助：
- 如果在执行过程中遇到复杂问题或争议，建议及时咨询专业律师，以维护自身合法权益。
针对您的情况，我建议首先梳理两个判决的具体内容，评估是否存在相互抵销的可能性。然后，分别向法院申请执行，并积极配合法院的执行工作。如果在执行过程中遇到问题或争议，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供法律帮助。