核心结论：您男友醉酒打伤司机需承担民事赔偿责任，若构成轻伤以上还可能面临刑事责任，建议立即采取协商赔偿、配合调查等措施降低法律风险。以下是具体分析：
一、民事赔偿责任不可免除
根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。您男友醉酒后殴打司机，主观上存在过错，客观上造成司机人身或财产损害，需赔偿医疗费、误工费、护理费等合理费用。
处理建议：
- 主动协商赔偿：建议尽快与司机或其家属联系，协商赔偿金额及支付方式。可要求对方提供医疗费发票、收入证明等损失凭证，确保赔偿金额合理。
- 签订书面协议：赔偿时务必签订书面和解协议，明确赔偿金额、支付时间及双方权利义务，避免后续纠纷。
- 保留证据：保存转账记录、收条、协议等材料，证明已履行赔偿义务。
二、可能涉及刑事责任
若司机伤情经鉴定构成轻伤二级以上，您男友可能涉嫌《刑法》第234条规定的故意伤害罪，面临三年以下有期徒刑、拘役或管制。即使不构成犯罪，也可能因违反《治安管理处罚法》第43条被处以行政拘留及罚款。
应对措施：
- 配合警方调查：如实陈述事件经过，避免隐瞒或歪曲事实，否则可能加重责任。
- 争取从轻处理：若主动赔偿并取得司机谅解，可向公安机关提交《谅解书》，申请从轻或减轻处罚。
- 委托律师介入：若案件进入刑事程序，建议尽快委托律师提供法律帮助，如申请取保候审、辩护等。
三、其他注意事项
- 醉酒不影响责任认定：醉酒并非免责事由，法律上仍需承担完全责任。
- 避免私下威胁或报复：若对方提出不合理要求，切勿通过威胁、报复等方式解决，否则可能构成新的违法行为。
- 反思行为后果：建议与男友沟通，引导其认识到暴力行为的严重性，避免再次发生类似事件。
总结：当前需优先通过协商赔偿化解民事纠纷，同时关注伤情鉴定结果。若涉及刑事责任，应积极配合调查并争取从轻处理。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。