将搜索到的老师个人信息进行传播，确实可能构成侵权，具体是否构成侵权需结合实际情况判断，以下从不同角度进行分析：
一、可能构成侵犯隐私权
隐私权定义：隐私权是指个人享有的私人生活安宁与私人信息秘密依法受到保护，不被他人非法侵扰、知悉、收集、利用和公开的一种人格权。老师的个人信息，如家庭住址、电话号码、身份证号码等，均属于其隐私范畴。
传播行为的违法性：若未经老师同意，擅自将其个人信息进行传播，尤其是通过互联网等公开渠道，使得这些信息被不特定的人所知悉，就可能构成对老师隐私权的侵犯。
法律后果：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵犯他人隐私权的，应当承担停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等民事责任。
二、可能构成侵犯名誉权（若传播内容不实）
名誉权定义：名誉权是指公民或法人保持并维护自己名誉的权利。它是人格权的一种。这些被维护的名誉是指具有人格尊严的名声，是人格的重要内容，受法律的保护。
传播不实信息的违法性：若在传播老师个人信息的过程中，附带了不实的信息或评价，导致老师的名誉受到损害，就可能构成对老师名誉权的侵犯。
法律后果：同样根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵犯他人名誉权的，侵权人也需要承担相应的民事责任，包括停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉及赔偿损失等。
三、特殊情况下的不构成侵权
合法传播：若老师本人同意或授权他人传播其个人信息，或者该信息的传播是出于公共利益的需要（如学校官方网站公布教师信息），且传播方式、范围等均符合法律规定，则不构成侵权。
已公开信息的传播：若老师的个人信息已经通过合法途径公开（如政府网站、公开报道等），且传播行为没有超出原公开范围或目的，一般也不构成侵权。但需注意，即使信息已公开，传播时也应尊重老师的意愿和隐私权，避免不当使用。
建议：在日常生活中，我们应尊重他人的隐私权和名誉权，避免未经同意擅自传播他人的个人信息。若因工作或学习需要必须传播某些信息，也应事先征得信息主体的同意，并确保传播方式、范围等符合法律规定。若您遇到相关法律问题，可以直接向我咨询。