当被派遣的劳动者在用工单位受伤时，其赔偿问题主要依据《中华人民共和国劳动合同法》及相关的工伤保险法规来处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、法律依据与责任主体

1. 《中华人民共和国劳动合同法》

   • 第五十八条明确规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务，包括为劳动者缴纳社会保险费，以及在劳动者发生工伤时承担相应的责任。
   • 第九十二条指出，如果用工单位给被派遣劳动者造成损害，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。这意味着，若因用工单位的过错导致劳动者受伤，两者需共同承担责任。

2. 《工伤保险条例》

   • 该条例规定了工伤认定的标准、程序以及工伤保险待遇的支付等。被派遣劳动者在用工单位因工作原因受到事故伤害或患职业病，应依法享受工伤保险待遇。

二、处理流程

1. 工伤认定

   • 劳动者或其近亲属应在规定时间内（通常为事故发生之日起一年内）向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 申请时需提交相关材料，如工伤认定申请表、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等。
   • 社会保险行政部门将进行调查核实，并作出是否认定为工伤的决定。

2. 劳动能力鉴定

   • 经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，劳动者应进行劳动能力鉴定。
   • 劳动能力鉴定由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请。
   • 劳动能力鉴定委员会将根据劳动者的伤残情况作出鉴定结论。

3. 工伤保险待遇支付

   • 一旦认定为工伤并确定伤残等级，劳动者将依法享受相应的工伤保险待遇。
   • 这包括医疗费用、康复费用、伤残津贴、一次性伤残补助金等。
   • 具体待遇标准和支付方式由工伤保险基金或用人单位（若未购买工伤保险，则由用人单位承担）按照相关规定执行。

三、特殊情况处理

1. 若未购买工伤保险

   • 如果劳务派遣单位和用工单位均未为劳动者购买工伤保险，那么证明劳动关系的存在会是认定工伤中的一个关键环节。
   • 如果没有签署劳动合同，受伤职工需要准备各项可以证明劳动关系存在的证据，然后到仲裁委员会先确认劳动关系的存在，再由社保部门认定是否属于工伤。

2. 争议解决

   • 如果劳动者与劳务派遣单位或用工单位就工伤赔偿问题发生争议，可以依法申请劳动仲裁或提起诉讼。
   • 在仲裁或诉讼过程中，劳动者需要提供充分的证据证明自己的权益受到侵害。

四、建议与总结

• 建议：劳务派遣单位和用工单位应明确各自的责任和义务，确保为劳动者购买工伤保险，以降低工伤赔偿的风险。同时，劳动者也应了解自己的权益和维权途径，以便在受伤时能够及时获得赔偿。
• 总结：当被派遣的劳动者在用工单位受伤时，其赔偿问题主要依据相关法律法规来处理。劳务派遣单位作为用人单位，应承担主要的赔偿责任；若因用工单位的过错导致劳动者受伤，两者需共同承担责任。劳动者应依法享受工伤保险待遇，并在必要时通过法律途径维护自己的权益。