起冲突后用凶器伤人，确实可能构成刑事犯罪。这一结论主要基于我国刑法中关于故意伤害罪的相关规定。下面，我将从多个角度为您详细分析：

一、构成故意伤害罪的情形

1. 故意伤害他人身体：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。这意味着，如果您在冲突中故意使用凶器伤害他人身体，且伤害程度达到轻伤及以上，就可能构成故意伤害罪。

2. 伤害程度与量刑：

   • 如果伤害程度达到重伤，处三年以上十年以下有期徒刑。
   • 如果致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

二、可能不构成犯罪或量刑较轻的情形

1. 正当防卫：

   • 如果您在冲突中使用凶器是为了防止自己或他人受到正在进行的不法侵害，且防卫行为没有明显超过必要限度，那么您的行为可能构成正当防卫，不构成犯罪。

2. 过失伤害：

   • 如果您在使用凶器时并非故意伤害他人，而是由于疏忽大意或过于自信导致他人受伤，且伤害程度较轻，那么您的行为可能构成过失伤害，量刑会相对较轻。但需要注意的是，过失伤害他人身体，致人重伤的，也处三年以下有期徒刑或者拘役。

3. 情节轻微：

   • 如果您的行为情节轻微，如仅造成轻微伤，且没有其他恶劣情节，那么可能不构成犯罪，或者仅受到行政处罚。

三、法律建议与后果

1. 立即停止行为：

   • 如果您在冲突中已经使用了凶器，应立即停止行为，避免进一步伤害他人。

2. 主动投案自首：

   • 如果您的行为已经构成犯罪，主动投案自首并如实供述自己的罪行，可以从轻或者减轻处罚。

3. 积极赔偿与和解：

   • 积极与被害人或其家属进行沟通，争取达成和解协议，并赔偿被害人的损失。这有助于减轻您的刑事责任。

4. 寻求法律帮助：

   • 在处理此类案件时，建议您及时寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。

总结来说，起冲突后用凶器伤人是否构成刑事犯罪，取决于您的行为是否故意、伤害程度如何以及是否存在其他法定情节。如果您面临此类情况，请务必保持冷静，立即停止行为，并尽快寻求法律帮助。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。