结论：媳妇是否需要偿还老公在世时欠的债务，取决于该债务是否属于夫妻共同债务。若属于夫妻共同债务，媳妇有连带偿还责任；若不属于，则媳妇无需偿还。

分析如下：

一、夫妻共同债务的定义与认定

夫妻共同债务，指的是为满足夫妻共同生活需求而背负的债务，这包括购置共同居住的房屋、支付家庭日常开销等。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻双方共同签名或者夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务，都属于夫妻共同债务。

二、媳妇是否需要偿还债务的判定

1. 若债务属于夫妻共同债务：

   • 媳妇有连带偿还责任。这意味着，即使老公已经去世，媳妇仍然需要以其个人财产或夫妻共同财产中的份额来偿还该债务。
   • 例如，如果老公在世时为了家庭共同生活而借款购买房屋或车辆，那么这笔债务就属于夫妻共同债务，媳妇需要承担偿还责任。

2. 若债务不属于夫妻共同债务：

   • 媳妇无需偿还。这通常指的是老公以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，且债权人无法证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示。
   • 例如，如果老公在世时因个人赌博而借款，且这笔债务并未用于家庭共同生活或经营，那么媳妇就无需承担偿还责任。

三、特殊情况下的债务处理

• 如果老公留有遗产：即使债务不属于夫妻共同债务，但老公留有遗产，媳妇作为继承人在继承遗产范围内也可能要承担债务。根据《中华人民共和国民法典》的规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
• 证据的重要性：在处理此类债务纠纷时，证据至关重要。如果媳妇能够证明债务并未用于夫妻共同生活或经营，那么她就可以主张该债务不属于夫妻共同债务，从而无需承担偿还责任。

建议：

• 如果您面临此类债务纠纷，建议首先收集相关证据，如借款合同、转账记录、报警记录等，以证明债务的性质和用途。
• 然后，您可以根据证据情况与债权人进行协商或通过法律途径解决纠纷。
• 在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。