针对您提出的“被判刑的事业编制人员如何处理”的问题，根据人力资源社会保障部印发的《事业单位工作人员处分规定》，以下是对此问题的详细解答：

一、处分规定概述

《事业单位工作人员处分规定》对事业单位工作人员的处分原则、种类、适用、权限、程序等作出了全面规定，是开展事业单位处分工作的基本依据。该规定旨在严明事业单位纪律规矩，规范工作人员行为，确保事业单位及其工作人员依法履职。

二、被判刑的事业编制人员处分规定

1. 因过失犯罪被判处刑罚：

   • 若被判处管制、拘役或者三年以下有期徒刑，一般应当予以开除。
   • 案件情况特殊，给予降低岗位等级处分更为适当的，可以不予开除，但需报请事业单位主管部门批准，并报同级事业单位人事综合管理部门备案。

2. 因故意犯罪被判处刑罚：

   • 若被判处管制、拘役或者有期徒刑以上刑罚（含宣告缓刑），给予开除处分。
   • 若因过失犯罪被判处有期徒刑，且刑期超过三年，同样给予开除处分。
   • 若因犯罪被单处或者并处剥夺政治权利，也给予开除处分。

3. 其他犯罪情况：

   • 事业单位工作人员因犯罪被单处罚金，或者犯罪情节轻微，人民检察院依法作出不起诉决定或者人民法院依法免予刑事处罚的，给予降低岗位等级处分。
   • 若造成不良影响的，给予开除处分。

三、处分程序与权限

• 处分权限：根据事业单位工作人员的违规违纪违法行为性质和情节轻重，由事业单位或其主管部门按照规定的权限和程序进行处分。
• 处分程序：包括调查取证、听取陈述申辩、作出处分决定、通知受处分人及其所在单位等步骤，确保处分决定的公正性和合法性。

四、后续影响与建议

• 后续影响：被开除的事业编制人员将失去事业单位工作身份，可能面临再就业的挑战。同时，其个人档案中也将记录此次处分信息，对未来职业发展产生一定影响。
• 建议：对于被判刑的事业编制人员，建议积极配合司法机关的调查和处理，同时主动向所在单位说明情况，争取从轻或减轻处分。在处分决定作出后，应认真反思自己的行为，积极改正错误，努力提升自己的法律意识和职业素养。

综上所述，被判刑的事业编制人员将根据其犯罪性质和情节轻重受到相应的处分。希望以上解答能对您有所帮助。如有其他疑问或需要进一步的法律咨询，请随时告知。