当法院在审理过程中建议检察院补充起诉时，检察院应当按照以下步骤和原则来处理：

一、审查法院建议

首先，检察院需要仔细审查法院提出的补充起诉建议，明确法院认为需要补充起诉的具体内容、事实和法律依据。这一步骤至关重要，因为它决定了后续工作的方向和重点。

二、评估补充起诉的必要性

在审查法院建议的基础上，检察院需要评估补充起诉的必要性。这包括考虑补充起诉是否有助于更全面、准确地查明案件事实，是否有利于维护法律的公正和权威，以及是否符合起诉的法定条件。

三、收集并审查新证据

如果检察院认为补充起诉是必要的，那么接下来就需要收集并审查与补充起诉相关的新证据。这包括但不限于物证、书证、证人证言、鉴定意见等。在收集证据的过程中，检察院应当严格遵守法定程序，确保证据的合法性和有效性。

四、决定是否补充起诉

在收集并审查完新证据后，检察院需要根据证据情况和法律规定，决定是否向法院提起补充起诉。如果决定补充起诉，检察院应当制作补充起诉书，明确补充起诉的诉讼请求、事实和理由，并依法向法院提交。

五、遵守法律程序和期限

在处理补充起诉的过程中，检察院必须严格遵守法律程序和期限。这包括但不限于起诉的期限、证据的提交期限、庭审的准备期限等。遵守法律程序和期限是保障诉讼公正合法的重要前提。

六、保障被告人权益

在补充起诉的过程中，检察院还需要特别注意保障被告人的权益。这包括及时将补充起诉的内容、事实、罪名等告知被告人，使其了解被指控的新情况；赋予被告人辩护权，允许其自行辩护或委托辩护人；以及在庭审中保障被告人的陈述权、质证权等。

七、应对可能的结果

最后，检察院还需要做好应对可能结果的心理准备。如果补充起诉后证据仍然不足，不符合起诉条件，检察院应当依法作出不起诉的决定。同时，如果法院经过审理认为证据不足，不能认定被告人有罪的，也应当作出证据不足、指控的犯罪不能成立的无罪判决。

综上所述，当法院建议检察院补充起诉时，检察院应当认真审查法院建议、评估补充起诉的必要性、收集并审查新证据、决定是否补充起诉、遵守法律程序和期限、保障被告人权益以及应对可能的结果。这些步骤和原则共同构成了检察院处理补充起诉问题的完整框架。