在您请搬家公司搬家时被自家的猫抓伤，赔偿责任的承担需根据具体情况来判定。以下是从不同角度进行的分析：
猫主人的责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物饲养人或者管理人应当对其饲养的动物造成的他人损害承担侵权责任。这意味着，如果猫抓伤了搬家公司的工作人员，而您作为猫的主人或管理人，未能采取合理措施防止此类事件发生（例如，未将猫妥善安置在安全区域），则您可能需要承担相应的赔偿责任。
- 赔偿处理：赔偿金额可以通过双方协商确定，或者提供受伤人员的医疗费用、误工费等相应金额的证据。如果双方无法就赔偿金额达成一致，可以委托物价部门或相关机构进行估价。
搬家公司的责任：
- 如果搬家公司的工作人员在未经您允许的情况下擅自进入猫的活动区域，或者采取了不当的行为（如故意挑衅猫）导致被抓伤，那么搬家公司可能需要承担一定的责任。但这种情况相对较少见，且需要具体证据支持。
- 责任减轻：如果搬家公司的工作人员在进入您家时已经采取了合理的预防措施（如佩戴防护装备、注意观察周围环境等），但仍被猫抓伤，那么您作为猫主人的责任可能会相应减轻。
双方共同责任或免责情况：
- 如果双方都存在一定的过错（例如，您未将猫妥善安置，同时搬家公司工作人员也未采取足够的预防措施），那么赔偿责任可能会根据双方的过错程度进行分担。
- 免责情况：如果能够证明猫抓伤事件是由于不可抗力（如地震、火灾等突发事件导致猫受惊）或第三方故意行为（如有人故意驱使猫攻击他人）造成的，那么您和搬家公司可能都不需要承担责任。但这种情况需要具体的证据支持。
建议与后续行动：
- 及时沟通：在事件发生后，及时与搬家公司沟通，了解受伤人员的伤情和医疗费用情况，以便协商赔偿事宜。
- 保留证据：保留好与事件相关的所有证据，包括医疗费用发票、受伤人员的照片或视频、目击者的证言等，以便在需要时提供证明。
- 寻求法律帮助：如果双方无法就赔偿事宜达成一致，或者您对责任判定存在疑问，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径解决纠纷。
在处理此类事件时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。