当存款人去世后，其继承人需要申请提取不同银行的遗产时，可以遵循以下步骤和注意事项：
一、了解新规与简化提取条件
首先，继承人应了解国家金融监督管理总局和中国人民银行发布的关于优化已故存款人小额存款提取的新规。根据新规，已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币时，继承人无需提交公证书就可一次性提取已故存款人存款及利息。这一规定大大简化了小额遗产的提取流程。
二、准备必要材料
无论遗产金额大小，继承人在申请提取遗产时，通常需要准备以下材料：
- 能够证明已故存款人死亡事实的材料：如死亡证明、火化证明等。
- 提取申请人的有效身份证件：如身份证、护照等。
- 提取申请人亲笔签名的承诺书：承诺所提交的材料真实有效，并承担相应法律责任。
- 能够证明亲属关系的材料：如居民户口簿、结婚证、出生证明等，或指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱。
三、针对不同银行的具体操作
小额遗产（不超过5万元）：
- 继承人可直接携带上述材料前往已故存款人开户的银行网点，申请提取遗产。
- 银行在审核材料无误后，会按照新规办理提取手续。
大额遗产（超过5万元）：
- 对于大额遗产，银行通常要求继承人提供继承公证书或其他法律文件，以证明其继承权。
- 继承人需要前往公证处办理继承公证，或通过法院诉讼等方式确认继承权。
- 获得继承公证书或法院判决书后，继承人再携带相关材料前往银行申请提取遗产。
四、特殊情况处理
丧葬费、抚恤金：
- 根据新规，丧葬费、抚恤金不计入5万元账户限额，可以全额简化提取。
- 继承人可以通过适当方式表明账户中资金属于丧葬费、抚恤金，银行在核查交易信息和资金来源、申请人签署承诺书等方式确认资金性质后，会办理简化提取。
非存款类金融产品：
- 除了银行存款外，黄金积存产品、国债、代销理财产品等也纳入简化提取范围，与银行存款合并计入5万元的提取限额内。
- 继承人需要按照银行要求提供相应材料，以申请提取这些非存款类金融产品。
五、注意事项与建议
- 及时沟通：在申请提取遗产前，继承人应与银行保持沟通，了解具体流程和所需材料。
- 保留证据：继承人应妥善保管所有与遗产提取相关的材料和证据，以备不时之需。
- 寻求专业帮助：如果遗产情况复杂或涉及大额资金，继承人可以考虑寻求律师或专业机构的帮助，以确保遗产提取的合法性和顺利性。
综上所述，当存款人去世后，其继承人需要申请提取不同银行的遗产时，应首先了解新规与简化提取条件，准备必要材料，并根据遗产金额大小和银行要求进行具体操作。在特殊情况下，如涉及丧葬费、抚恤金或非存款类金融产品时，也需要按照相应规定进行处理。