针对您提出的“消防员逾期诉讼怎么处理”这一问题，实际上可能涉及的是对消防安全违法行为人逾期不执行相关消防决定（如停产停业、停止使用、停止施工等）的强制执行流程。以下是根据相关法律法规整理的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国消防法》第七十条的规定，本法规定的行政处罚（除另有规定外）由公安机关消防机构决定。对于被责令停止施工、停止使用、停产停业的单位或个人，若逾期不执行相关决定，将由作出决定的公安机关消防机构进行强制执行。
二、强制执行流程
审查催告：
- 公安机关消防机构会首先审查当事人是否存在逾期不执行停产停业、停止使用、停止施工决定的行为。
- 催告当事人履行义务，制作催告书，并予以公告。
决定强制执行：
- 听取当事人意见，对当事人提出的事实、理由和证据进行记录和复核。
- 做出采取强制执行的决定，并制作行政强制执行决定书。
实施强制执行：
- 送达执法文书给当事人。
- 由两名以上行政执法人员实施强制执行，或委托没有利害关系的第三人代履行。
- 实施过程中需出示执法身份证件，通知当事人到场，并当场告知当事人采取行政强制措施的理由、依据以及当事人依法享有的权利、救济途径。
- 听取当事人的陈述和申辩，制作现场笔录，并由当事人和行政执法人员签名或者盖章（当事人拒绝的，在笔录中予以注明）。
事后监管：
- 公安机关消防机构会现场检查强制措施落实情况，确保执行到位。
三、特殊情况处理
- 若责令停产停业对经济和社会生活影响较大，由公安机关消防机构提出意见，并由公安机关报请本级人民政府依法决定。本级人民政府将组织公安机关等部门实施强制执行。
四、法律责任与追责
- 公安机关消防机构的工作人员在执行过程中若滥用职权、玩忽职守、徇私舞弊，将依法给予处分。
- 行政机关实施行政强制时若违反法定程序或采取不当措施（如夜间或法定节假日实施强制执行、对居民生活采取停止供水供电等措施），也将由上级行政机关或有关部门责令改正，并对直接负责的主管人员和其他直接责任人员依法给予处分。
五、救济途径
- 公民、法人或其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，可以自知道该具体行政行为之日起六十日内向相关人民政府提出行政复议，或自知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内依法向人民法院提起行政诉讼。
综上所述，对于消防安全违法行为人逾期不执行相关消防决定的情况，公安机关消防机构将依法进行强制执行，并确保整个执行过程的合法性和规范性。若您或相关单位遇到此类问题，建议及时与当地公安机关消防机构沟通并配合执行工作。