可以明确的是，您在商场刚签销售授权书不久，商场又授权第二家销售同类产品，您是有可能索赔的，但具体能否索赔成功以及索赔的金额和方式，需要依据具体情况和合同条款来判断。以下是从不同角度进行的分析：

一、合同条款角度

1. 独家销售权条款：

   • 如果您与商场签订的销售授权书中明确规定了您享有独家销售权，即商场在一定区域内或一定时间内不得再授权其他商家销售同类产品，那么商场的行为就构成了违约。
   • 在此情况下，您有权依据合同条款要求商场承担违约责任，包括但不限于赔偿损失、支付违约金等。

2. 非独家销售权条款：

   • 如果销售授权书中并未明确规定独家销售权，或者明确规定了商场可以授权多家商家销售同类产品，那么商场的行为就不构成违约。
   • 在此情况下，您可能无法直接依据合同条款要求商场赔偿，但可以考虑从其他角度寻求法律救济。

二、法律原则角度

1. 诚实信用原则：

   • 商场在签订销售授权书后，又擅自授权第二家销售同类产品，可能违反了诚实信用原则。
   • 如果商场的行为给您造成了损失，您可以依据诚实信用原则要求商场承担相应的赔偿责任。

2. 公平竞争原则：

   • 商场的行为可能破坏了市场公平竞争秩序，对您的销售业务造成了不利影响。
   • 在此情况下，您可以考虑向相关市场监管部门投诉，或者通过法律途径维护自己的合法权益。

三、实际操作建议

1. 审查合同条款：

   • 首先，您需要仔细审查销售授权书的条款，特别是关于独家销售权、违约责任等方面的规定。
   • 如果合同条款明确规定了您的独家销售权，并且商场的行为构成了违约，那么您可以依据合同条款要求商场赔偿。

2. 收集证据：

   • 在索赔过程中，您需要收集充分的证据来证明商场的行为给您造成了损失。
   • 证据可以包括销售数据、市场调研报告、与商场的沟通记录等。

3. 协商与诉讼：

   • 在收集到充分证据后，您可以先尝试与商场进行协商，寻求和解方案。
   • 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼或申请仲裁。

最后需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，能否索赔成功以及索赔的金额和方式都需要依据具体情况和合同条款来判断。因此，如果您在此方面遇到问题，建议直接向我咨询，以便我能根据您的具体情况提供更准确的法律建议。