针对您提出的事业单位人员聘期满后续聘还是期满前开展续聘手续的问题，结合我找到的相关信息，以下是我的详细解答：

事业单位人员应在聘期满前开展续聘手续。

具体来说，根据事业单位人员岗位续聘的相关规定，事业单位工作人员在聘任期满后，若单位同意继续聘任，则需要在聘任期满前进行续聘手续的办理。以三门峡市为例，事业单位专业技术人员应在聘任期满前一个月申请办理续聘。这一规定确保了聘任关系的连续性和稳定性，避免了因聘期满未及时续聘而导致的自动解聘情况。

续聘手续的具体流程：

1. 申请与考核：事业单位专业技术人员应在聘任期满前一个月向单位提出续聘申请。单位则根据专业技术人员聘期内的综合表现，决定是否办理续聘。

2. 材料准备：若单位同意续聘，需收集拟续聘人员的职称证、聘任证等材料，并填写《职称续聘汇总表》。所有材料需加盖单位公章，并报主管单位审核。

3. 审核与备案：主管单位对单位提交的续聘材料进行审核，并加盖主管单位公章。之后，单位需持所有申报材料到市政务服务中心（或相应的人社部门）办理聘任证书。聘任证书由单位负责填写，并加盖单位公章。

注意事项：

• 续聘人员应完成上一聘期内的继续教育任务，其完成情况由用人单位和人社部门自行进行网络核验。
• 若未在规定时间内办理续聘手续，则视为自动解聘。

特殊情况处理：

• 对于因工作变动在新单位为调动单列或临时聘任的专业技术人员，如调动单列聘任期满，聘任期满后不再自然续聘，应在新单位岗位职数范围内重新竞聘，获聘后办理续聘手续。
• 若原聘书聘任栏已满，还需同时报送事业单位工作人员岗位聘任汇总表（电子版），且报表数据需与系统续聘数据一致。

综上所述，事业单位人员应在聘期满前开展续聘手续，以确保聘任关系的连续性和稳定性。希望以上解答能对您有所帮助。如有其他疑问，请随时咨询。