可以报警。针对您所描述的情况，即按揭车贷款未还清，车在您名下，但由他人还贷款，且他人私自卖车，以下是从不同角度对此问题的详细分析：

一、法律角度

1. 抵押财产转让规定：

   • 根据《民法典》第四百零六条，抵押期间，抵押人可以转让抵押财产，但应当及时通知抵押权人。若抵押权人能够证明抵押财产转让可能损害抵押权的，可以请求抵押人将转让所得的价款向抵押权人提前清偿债务或者提存。
   • 在您的情况下，虽然车辆处于抵押期间，但他人未经您（抵押人）同意私自卖车，显然违反了上述规定中“应当及时通知抵押权人”的要求，更未获得您的同意，因此该行为是非法的。

2. 所有权保护：

   • 车辆登记在您名下，您是车辆的法律所有权人。未经您同意，他人无权处分您的财产，包括私自卖车。
   • 他人私自卖车的行为，侵犯了您的财产所有权，您有权要求返还车辆或赔偿损失。

二、实际操作角度

1. 报警处理：

   • 鉴于他人私自卖车的行为是非法的，且侵犯了您的财产所有权，您可以选择向警方报案。
   • 警方在受理案件后，会进行调查取证，并根据调查结果依法处理。

2. 收集证据：

   • 在报警前或报警过程中，您应尽可能收集相关证据，如车辆登记证、贷款合同、还款记录、卖车协议（如有）等，以证明车辆的所有权归属以及他人私自卖车的事实。
   • 这些证据将有助于警方更快地查明事实真相，并依法作出处理。

3. 法律后果：

   • 他人私自卖车的行为，可能面临刑事责任或民事责任。具体责任取决于卖车行为的性质、后果以及相关法律法规的规定。
   • 如果卖车行为构成犯罪（如诈骗罪、盗窃罪等），他人将可能面临刑事处罚。
   • 如果卖车行为不构成犯罪，但侵犯了您的财产所有权，您可以通过民事诉讼途径要求他人赔偿损失。

三、建议与提醒

1. 及时采取行动：

   • 发现他人私自卖车后，您应尽快采取行动，包括报警、收集证据等，以防止损失进一步扩大。

2. 咨询专业律师：

   • 虽然我已经为您提供了详细的法律分析，但在实际操作过程中，您可能还需要咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。不过，就目前情况而言，您可以直接向我咨询相关法律问题。

3. 加强风险防范：

   • 在未来，您应加强对车辆等财产的管理和保护，避免类似事件再次发生。例如，可以与还贷款的人签订书面协议，明确双方的权利和义务；或者将车辆存放在安全可靠的地方等。