结论前置：若因经济困难无法在拘留期满时缴纳5000元罚款，可通过申请暂缓缴纳、分期缴纳或申请减免等方式解决，但需符合法定条件并履行相应程序。以下为具体分析：

1. 申请暂缓或分期缴纳罚款

根据《行政处罚法》第七十二条，当事人确有经济困难，需要延期或分期缴纳罚款的，经当事人申请和行政机关批准，可以暂缓或者分期缴纳。

• 操作步骤：
  
  • 向作出处罚的公安机关提交书面申请，说明经济困难的具体原因（如失业、重大疾病、家庭变故等），并提供相关证明材料（如医院诊断证明、失业证明、低保证明等）。
    
  • 公安机关审核后，若认为符合条件，会批准暂缓或分期缴纳，并明确缴纳期限。
    
• 注意事项：
  
  • 暂缓或分期缴纳需以“确有经济困难”为前提，若故意隐瞒或提供虚假材料，可能面临强制执行或更严厉的处罚。
    
  • 批准后需严格按约定时间缴纳，否则可能被强制执行。

2. 申请减免罚款（需特殊情形）

若存在法定减免情形（如当事人行为系被胁迫、情节特别轻微等），可向公安机关申请减免罚款，但实践中嫖娼行为一般不适用减免。

• 法律依据：
  
  • 《治安管理处罚法》第十九条对减轻处罚或不予处罚的情形有明确规定（如情节特别轻微、主动消除或减轻违法后果等），但嫖娼行为通常不符合这些情形。
    
  • 若当事人能证明自身行为存在重大误解或被诱骗，可尝试申请复议或诉讼，但成功率较低。
    
• 建议：
  
  • 除非有确凿证据证明行为存在法定减免事由，否则不建议将希望寄托于减免，应优先通过暂缓或分期缴纳解决。

3. 不缴纳罚款的后果及强制执行

若逾期不缴纳罚款，公安机关可依法采取以下措施：

• 每日按罚款数额的3%加处罚款（但加处罚款总额不超过罚款本金，即5000元）。
  
• 申请法院强制执行：公安机关可向法院申请强制执行，法院可查封、扣押、冻结当事人财产（如银行存款、房产、车辆等），甚至将当事人纳入失信被执行人名单，影响征信、出行、消费等。
  
• 影响后续行政程序：若未来再次因违法行为被处罚，不缴纳罚款的记录可能成为从重处罚的依据。

4. 建议行动方案

1. 立即与公安机关沟通：说明经济困难，申请暂缓或分期缴纳，并提交证明材料。
   
2. 筹集资金优先缴纳：若经济条件允许，尽量在期限内缴纳，避免加处罚款或强制执行。
   
3. 咨询专业法律意见：若对处罚决定有异议（如认为证据不足、程序违法等），可在收到处罚决定书之日起60日内申请行政复议，或在6个月内提起行政诉讼，但需注意：复议或诉讼期间不停止罚款执行。

最后提醒：嫖娼行为不仅违反《治安管理处罚法》，还可能引发性病传播、家庭破裂等社会问题，建议今后遵守法律法规，避免再次违法。若有其他法律问题，可直接向我咨询。