当刑事案件中的犯罪嫌疑人被拘留满37天后，根据法律法规和司法实践，通常会有以下几种处理结果，我会为您详细阐述：

一、批准逮捕

若在37天的拘留期限内，公安机关收集到了充分且确凿的证据，证明犯罪嫌疑人涉嫌的罪行已经明了，且依照刑法规定应当承担相应的刑事责任，那么公安机关会提请人民检察院审查批准逮捕。人民检察院在接到提请批准逮捕书后的七日以内，会作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。若批准逮捕，犯罪嫌疑人将继续被羁押，案件将进入更深入的侦查阶段，直至审查起诉。

二、不予批准逮捕并释放

如果人民检察院经过详尽核实，判定犯罪嫌疑人并不具备被捕的法定条件，比如证据不足、罪行较轻且没有社会危险性等，那么会作出不批准逮捕的决定。接到该通知的公安机关应立即释放犯罪嫌疑人，并将执行情况及时通报给人民检察院。

三、取保候审或监视居住

对于某些案件，虽然犯罪嫌疑人需要继续接受侦查，但并无逮捕的必要，此时可以依法采取取保候审或监视居住的措施。取保候审是指犯罪嫌疑人在缴纳一定数额的保证金或提供保证人后，可以暂时离开羁押场所，但需遵守一定的限制条件，如不得离开指定区域、不得干扰证人作证等。监视居住则是指对犯罪嫌疑人在其住处或指定的居所进行监视，限制其活动范围。

四、释放并处行政拘留（针对罪行较轻但需追究行政责任的情况）

如果犯罪嫌疑人的罪行较轻，不需要承担刑事责任，但需要追究行政责任，那么在释放的同时，可能会对其处以行政拘留的处罚。行政拘留是一种行政处罚措施，与刑事拘留不同，它针对的是违反行政管理法规的行为。

五、超过期限应解除强制措施并释放

根据法律规定，刑事拘留的最长期限为37日（在特殊情况下，如流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日，但人民检察院审查批准的时间仍为七日，总计不超过37日）。如果超过这个期限，公安机关应当解除强制措施并释放犯罪嫌疑人。

总结与建议：

37天是刑事拘留中的一个关键时间节点，它决定了案件后续的处理方向。作为家属或当事人，您有权了解案件的进展情况，并可以在必要时寻求专业律师的帮助，以维护自身的合法权益。如果您对刑事拘留满37天后案件的后续处理、嫌疑人的具体权益等还有疑问，建议及时咨询专业律师或相关司法机关，以获取更准确、更全面的信息。