核心责任划分需结合具体证据与法律关系，一般可能涉及多方责任主体，具体如下：

1. 烟花燃放者的责任
   若邻居未在指定区域燃放烟花，违反了《烟花爆竹安全管理条例》中关于燃放地点、时间的规定（如禁止在人员密集场所、建筑物附近燃放），则构成违规燃放行为。根据《民法典》第1165条，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若燃放者未尽到安全注意义务（如未清理残留物、未设置警示标志），导致老人捡拾时被炸伤，燃放者需承担主要赔偿责任，包括医疗费、残疾赔偿金、护理费等。

2. 老人的自身责任
   若老人明知燃放区域危险仍主动进入捡拾垃圾，可能被认定为存在过错。根据《民法典》第1173条，被侵权人对同一损害的发生或者扩大有过错的，可以减轻侵权人的责任。例如，若老人未观察环境、未采取安全措施，法院可能酌情减轻燃放者的赔偿责任（如承担70%-90%，老人自担10%-30%）。但若老人为未成年人或精神障碍者，其监护人可能需承担相应责任。

3. 物业或管理方的责任
   若指定燃放区域由物业或社区划定，且物业未履行安全保障义务（如未设置警示标志、未及时清理残留物、未阻止违规燃放），根据《民法典》第1198条，公共场所的管理人未尽到安全保障义务造成他人损害的，应当承担侵权责任。此时，物业可能需承担补充责任（如与燃放者按比例分担赔偿）。

4. 产品责任（如涉及）
   若爆炸由烟花质量问题导致（如未标注安全警示、存在缺陷），根据《民法典》第1203条，生产者或销售者需承担产品责任。但本案中爆炸更可能因燃放行为引发，产品责任需结合具体证据判断。

关键证据与程序建议：

• 立即报警并保留现场照片、视频，证明燃放地点违规及老人受伤过程；
  
• 收集医疗记录、伤残鉴定报告，明确损害后果；
  
• 调取物业监控、证人证言，证明各方过错程度；
  
• 优先通过调解协商赔偿，若协商不成，可向法院起诉燃放者、物业等责任方。

总结：责任划分需综合过错程度、因果关系及证据链，建议尽快委托律师介入调查取证，以最大限度维护权益。如有进一步细节需补充，可随时向我咨询。