结论：学生留校任教是否需要签订三方协议，需根据具体情况判断，主要分为以下两种情形：

1. 若学生属于应届毕业生且留校任教属于首次就业
   根据《普通高等学校毕业生就业工作暂行规定》，应届毕业生与用人单位达成就业意向时，通常需签订三方协议（即《全国普通高等学校毕业生就业协议书》），以明确毕业生、学校、用人单位三方的权利义务。

   • 适用场景：学生尚未毕业，通过校园招聘或校内选拔程序被学校录用为教师，且需在毕业后正式入职。
     
   • 协议作用：三方协议可约定报到时间、岗位、薪资、违约责任等条款，同时作为学校办理派遣手续的依据。
     
   • 注意事项：若学校要求签订三方协议，学生需仔细核对协议条款（如服务期、违约金等），避免因条款模糊导致纠纷。

2. 若学生已毕业或留校任教属于非首次就业
   若学生已取得毕业证书，或留校任教属于校内调动、兼职、返聘等非首次就业情形，则无需签订三方协议，直接与学校签订劳动合同即可。

   • 适用场景：
     
     • 学生已毕业，通过社会招聘渠道被学校录用；
       
     • 学生为在校研究生，以兼职形式担任辅导员或助教；
       
     • 退休教师返聘。
       
   • 协议类型：此时应签订《劳动合同》，明确工作内容、劳动报酬、社会保险、合同期限等条款，受《劳动合同法》保护。

补充建议：

• 若学校要求签订三方协议，学生可要求学校或人事部门出具书面说明，明确协议性质及后续安排（如是否直接转为劳动合同）。
  
• 签订任何协议前，建议核对协议主体是否为学校法人（避免与二级学院或部门单独签约），并保留一份原件。
  

如有具体协议条款或学校要求需进一步审核，可直接向我咨询。