针对您提出的事业单位在编人员请病假是否会被辞退，以及超期病假如何处理的问题，我将结合相关法律法规和实务案例，为您进行详细解答。
一、事业单位在编人员请病假是否会被辞退？
结论：在医疗期内，事业单位在编人员依法享受保护，不得被辞退。
法律依据：
- 根据《事业单位试行人员聘用制度意见的通知》（国办发2002〔35〕号）文件第六条第二款规定，受聘人员患病或者负伤，在规定的医疗期内的，聘用单位不得解除聘用合同。
医疗期计算：
- 事业单位的医疗期可以参照企业确定，依据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》（部发〔1994〕479号）文件，职工医疗期根据实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。
- 具体医疗期长度需根据个人实际工作年限确定，例如，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月，以此类推。
二、超期病假如何处理？
情况一：医疗期满后仍不能从事原工作
- 处理方式：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条及《事业单位人事管理条例》相关规定，医疗期满后，若员工不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。
- 经济补偿：解除劳动合同的同时，用人单位需根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条的规定，向劳动者支付经济补偿。经济补偿的具体标准按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
情况二：医疗期满擅自不回单位销假
- 处理方式：若员工医疗期满擅自不回单位销假，单位有权以旷工为由解除聘用合同，且不支付任何经济补偿金。
- 法律依据：根据《事业单位人事管理条例》及相关规定，员工应遵守单位规章制度，按时返岗销假。
情况三：存在严重违反规章制度等特定情形
- 处理方式：即使员工处于病假期间，若严重违反了事业单位的规章制度（如通过不正当手段获取虚假证明来请长期病假），单位有权依据相关法律规定解除聘用合同。
- 注意事项：单位在解除聘用合同时，应确保有充分证据证明员工存在严重违反规章制度的行为。
三、实务案例参考
以内蒙古高级人民法院民事裁定书(2024)内民申876号为例，原告王某因病长期请病假，但病假期满后未办理销假手续且未另行申请病假，单位多次通知其回院办理请销假手续未果后，以其超假为由解除聘用合同关系。法院最终驳回王某的再审申请，认为单位解除聘用合同关系符合相关规定。
四、总结与建议
- 事业单位：在处理长期病假员工的辞退问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。同时，应完善内部管理制度，明确病假申请流程、医疗期管理以及辞退条件等。
- 员工：应遵守单位的规章制度和相关法律法规，如实提交病假申请材料，积极配合单位的管理。医疗期满后，应及时返岗销假或与单位协商后续工作安排。
希望以上解答能够对您有所帮助。如有其他疑问或需要进一步了解相关法律法规，请随时咨询。