判决书下来后，当事人通常仅有一次上诉机会。以下是对此问题的详细分析：

1. 上诉的基本规定：

   • 在我国民事、刑事和行政诉讼中，实行两审终审制。这意味着一个案件经过两级人民法院审判后即告终结。
   • 当事人对一审判决不服，有权在法定期限内（民事和行政诉讼判决上诉期为送达后十五日内，刑事诉讼为送达后十日内）向上一级人民法院提起上诉。
   • 上诉需向上一级法院提交上诉材料，并遵循法定的上诉程序。

2. 二审终审判决的效力：

   • 二审法院作出的判决是终审判决，一经作出即具有法律效力。
   • 终审判决送达后，当事人不能再就同一事实和理由提起上诉。

3. 再审的特殊情况：

   • 虽然二审终审判决具有法律效力，但如果发现生效判决有误，如存在新的证据足以推翻原判决、原判决认定事实的主要证据是伪造的等法定情形，当事人可以通过审判监督程序申请再审。
   • 再审并非上诉程序，而是审判监督程序的一种。再审申请并不必然启动再审审理，需经法院审查符合法定情形才会再审。
   • 当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以在判决、裁定发生法律效力后六个月内向上一级人民法院申请再审（存在特定情形，如据以作出原判决的法律文书被撤销或者变更、审判人员审理该案件时有贪污受贿等行为的，自知道或者应当知道之日起六个月内提出）。

4. 上诉次数的法律限制：

   • 在中国，民事、刑事和行政诉讼中判决书上诉次数存在明确限制，即通常只能上诉一次。
   • 这一限制体现了两审终审制的基本原则，确保了司法程序的效率和稳定性。

法律建议：

• 当事人在收到判决书后，应仔细审查判决内容，并在法定期限内决定是否上诉。
• 如果决定上诉，应尽快准备上诉材料，并遵循法定的上诉程序。
• 如果对终审判决仍有异议，且符合再审条件，可以考虑申请再审，但需注意再审申请的严格条件和程序限制。

可能后果：

• 如果错过法定上诉期限，当事人将丧失上诉权利，判决将发生法律效力。
• 如果再审申请不符合法定条件或程序，法院将不予受理或驳回再审申请。

如有任何关于判决书上诉或再审的疑问，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。