民办非企业单位负责人若因失职而可能承担的刑事责任，主要取决于其失职行为是否构成犯罪以及构成何种犯罪。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、失职行为可能构成的犯罪类型
玩忽职守罪：
- 如果民办非企业单位的负责人作为国家机关工作人员（例如在某些情况下，民办非企业单位可能接受政府委托或管理公共事务，此时负责人可能被视为国家机关工作人员），在履行职责过程中严重不负责任，不履行或不正确履行职责，致使公共财产、国家和人民利益遭受重大损失，则可能构成玩忽职守罪。
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百九十七条，玩忽职守罪可处三年以下有期徒刑或者拘役；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑。
其他相关犯罪：
- 如果失职行为导致其他严重后果，如造成重大安全事故、环境污染事故等，且负责人对此负有直接责任，则可能构成其他相关犯罪，如重大责任事故罪、环境监管失职罪等。
- 这些犯罪的刑事责任根据具体犯罪情节和法律规定而定，可能涉及有期徒刑、拘役或罚金等。
二、非国家机关工作人员的失职责任
- 如果民办非企业单位的负责人并非国家机关工作人员，其失职行为一般不直接构成玩忽职守罪等职务犯罪。
- 但是，如果失职行为导致单位财产损失、员工权益受损或其他严重后果，且负责人对此负有直接责任，则可能根据单位内部规定或相关民事法律承担民事责任，如赔偿损失、承担违约责任等。
- 在极端情况下，如果失职行为涉及欺诈、挪用资金等违法行为，负责人还可能面临刑事指控，如诈骗罪、挪用资金罪等。
三、法律建议与预防措施
加强内部管理：
- 民办非企业单位应建立健全内部管理制度，明确负责人的职责和权限，确保各项工作有序进行。
- 定期对负责人进行培训和考核，提高其管理能力和责任意识。
完善监督机制：
- 设立独立的监督机构或聘请外部审计机构对单位财务和业务进行定期审计和监督。
- 鼓励员工和利益相关者对负责人的失职行为进行举报和投诉。
及时应对法律风险：
- 一旦发现负责人存在失职行为，应立即采取措施进行纠正和补救，防止损失扩大。
- 必要时，应寻求专业法律帮助，以应对可能的法律纠纷和刑事责任。
作为余松华律师，我建议您在遇到此类问题时，及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如果您有关于民办非企业单位负责人失职或相关刑事责任的具体问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。